《数学证明》读后感

对于我一个学生来说，数学有时是十分困难的，但是有些时候认真思考，仔细解题。就会体会到一种峰回路转的美感。

前几天，我读了一本数学方面的好书《数学证明》。这本书围绕数学证明的方法，历史和作用展开。像这本书的第八章《存在性证明》，这一章介绍了存在性证明的历史等内容。这一章并没有直接说存在性证明的相关内容，而是用了一个事例，也就是我比较熟悉的抽屉原理作为开始。抽屉原理是一组在中小学奥数中应用很广泛的，经常被用于进行存在性证明。我看到这条之后就想起了它之前在学习中带给我的那种“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”的那种令人感到茅塞顿开的美。

（第一抽屉原理：原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。 证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n×1，而不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。原理2：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体 。证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。证明：设有限集合A1-An均含有p个元素，其中每个元素都对应无限集合B中的一个元素，那么∵A1-An均为有限集，且n≠∞，p≠∞∴全集A为A1∪A2∪….∪An也为有限集，又∵A与B之间的元素有一一对应关系∴A与B等大，有穷等于无穷∴假设不成立，得证。第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。上面是我从搜狗百科上面查到“抽屉原理”词条，第三个证明是我自己写的，可能有问题）

书上原文是这样叙述的：把多于n件东西放在n个抽屉里，其中必有一个抽屉盛超过两件东西。这个叙述读起来比较容易理解。同时还有一个证明香港必有两个头发根数相同的人的事例来帮助理解：在写这本书时香港一共有约600万居民。而人的头发至多有20万，远小于600万，所以一定有头发根数相同的两人。

这个定理在做某些题的时候有很大用处，能够大大减小分析量。我第一次听说这个定理是在小学四年级的时候。上数奥课时老师提了一下这个定理。这定理在小学的数奥题里就曾出现，在现在的数奥题里依然出现频繁。就比如这道题吧，这是一道数奥作业题，题目是这样的。证明任意5个正整数中，必有两个数的平方差是7的倍数。我当时看到题目之后没有头绪，就设了这5个正整数为a1，a2，a3，a4，a5想利用平方差来因式分解。因为这5个数之间没有什么联系，所以分类讨论变的极为复杂。这道题利用抽屉原理可以快速得解：正整数模7有七种情况：0，1，2，3，4，5，6平方模7只有这几种情况：0，1，2，4。这就是我第一次卡住的地方，当时想了好久也思考不出答案。这道题利用抽屉原理，就可以较快速的分析，进而得到答案：5个物品放入4个抽屉，因为5大于4，所以必有一个抽屉里有至少两个物品。所以必有两数平方模同余。根据同余运算的幂性质，两数平方依然同余，所以在抽屉里抽取同余两数，其平方差模7余0。得证，这个证明很好的利用了抽屉原理，做题时减小了分析量，加快了做题速度。让人有茅塞顿开之感。

数学有时十分困难。但是有时候细心思考，认真解答，就会感受到那种令人感觉茅塞顿开“柳暗花明又一村”那种美感。