关于数学思维的训练范文

关键词：新课程；小学数学；培养学生；发散思维

中图分类号：G623.5文献标识码：B文章编号：1672-1578（2015）10-0308-01

基础教育新的课程改革注重学生的自主学习，而长期以来，传统教育下小学数学以集中思维为主要思维方式，课本上的题目和材料的呈现过程大都成为一个固定模式，学生习惯于按照书上写的和教师教的方式去思考问题，用符合常规的思路和方法解决问题，对于基础知识、基本技能的掌握是必要的，但对于小学生学习数学兴趣的激发、智力的发展，显然是有些勉强，这样教条似的教学也就很难变学生的"要我学"为"我要学"。由此可见，新课程下的小学数学教师要善于启迪学生的发散思维。而发散思维能力是一切能力的驱动，它是通过对事物的感知、表象进行分析、概括、归纳而获得事物本质的能力。一个人的发散思维能力高低，不仅与知识理论的深浅、年龄有关，而且与思维方式有关，因此，在数学教学中，学生思维能力的培养尤为重要。那么，如何在小学数学课堂中培养学生的发散思维呢？笔者在新课程理念的导引下，结合多年的教学实践，主要从如下方面入手进行探索。

1.转换思考角度，有效训练思维的求异性

小学数学教学中发散思维活动的展开，重要的一点是要能改变已习惯了的思维方式，而从多方位多角度--即从新的思维角度去思考问题，以求得问题的解决，这也就是思维的求异性。从认知心理学的角度来看，小学生在进行抽象的思维活动过程中由于年龄的特征，往往表现出难以摆脱已有的思维方式，也就是说学生个体的思维方式往往影响了对新问题的解决，以至于产生错觉。所以要培养与发展小学生的抽象思维能力，必须十分注意培养思维求异性，使学生在训练中逐渐形成具有多角度、多方位的思维方法与能力。例如，四则运算之间是有其内在联系的；减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，加与乘之间则是转换的关系；当加数相同时，加法转换成乘法，所有的乘法都可以转换成加法；加减、乘除、加乘之间都有内在的联系。如28-7可以连续减多少个7等于0？应要求学生变换角度思考，从减与除的关系去考虑。这道题可以看作28里包含几个7，问题就迎刃而解了。这样的训练，既防止了片面、孤立、静止看问题，使学生对所学知识进一步掌握，从中进一步理解与掌握了数学知识之间的内在联系，又进行了求异性思维训练。在教学中，我们还经常发现一部分学生只习惯于顺向思维，而不习惯于逆向思维。在应用题教学中，在引导学生分析题意时，一方面可以从问题入手，推导出解题的思路；另一方面也可以从条件入手，一步一步归纳出解题的方法。更重要的是，教师要十分注意在题目的设置上进行正逆向的变式训练。如：二年级数学中又这样一题训练：（1）牛16只，羊比牛多8只，羊几只？（2）牛16只，羊24只，羊比牛多多少只？这两道题目有相似的地方，但意思是完全不同的，经过多次实践，我领悟到：从低年级开始就重视正逆向思维的对比训练，将有利于学生突破已有的思维方式。

2.激发求知欲望，有效训练思维的积极性

教育心理学研究表明，思维的惰性是影响发散思维的障碍，而思维的积极性是思维惰性的克星。因此，培养思维的积极性是培养发散思维的极其重要的基础。在小学数学教学中，教师要十分注意激起学生强烈的学习兴趣和对知识的渴求，使他们能带着一种高涨的情绪从事学习和思考。例如：在小学低段学习"乘法初步认识"内容中，教师可先出示几道连加算式让学生改写为乘法算式。由于有乘法意义已经掌握，虽然是二年级小学生，仍能较顺畅地完成了上述练习。而后，教师又出示4+4+4+4+2，让学生思考、讨论能否改写成一道含有乘法的算式呢？经过学生的讨论与教师及时予以点拨，学生列出了4+4+4+4+2=4×5-2=4×4+2=2×9……虽然课堂费时多，但这样的训练却有效地激发了学生寻求新方法的积极情绪。在数学教学中还经常利用"障碍性引入"、"冲突性引入"、"问题性引入"、"趣味性引入"等，以激发学生对新知识、新方法的探知思维活动，这将有利于激发学生的学习动机和求知欲。在学生不断地解决知与不知的矛盾过程中，还要善于引导他们一环接一环地发现问题、思考问题、解决问题。

3.借助一题多解，有效训练思维的广阔性

思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。例如："甲绳长6.8米，乙绳长5.6米，两绳平均长多少米？在老师的鼓励和引导下，学生可以给出多种不同解法。例如：

A.（6.8+5.6）÷2；

B.（6.8-5.6）÷2+5.6；

C.6.8-（6.8-5.6）÷2；

D.6.8÷2+5.6÷2

通过比较，学生不仅知道哪种法最优，还加深了对平均问题的认识。让学生进行多种解题思路的讨论，能使学生解题思路敏捷，既达到一题多解的效果，又训练了学生思维的广阔性。在应用题解题中，从多角度进行迁移深化，由此及彼，有利于学生发散思维的训练。当然，教师在教学过程中不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题；要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展；要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。

4.运用转化思想，有效训练思维的联想性

联想思维是一种表现想象力的思维，是发散思维的显著标志。联想思维的过程是由此及彼，由表及里。通过广阔思维的训练，学生的思维可达到一定广度，而通过联想思维的训练，学生的思维可达到一定深度。例如有些题目，从叙述的事情上看，不是工程问题，但题目特点确与工程问题相同，因此可用工程问题的解题思路去分析、解答。让学生进行多种解题思路的讨论时，有的解法需要学生用数学转化思想，才能使解题思路简捷，既达到一题多解的效果，又训练了思路转化的思想。"转化思想"作为一种重要的数学思想，在小学数学中有着广泛的应用。在应用题解题中，用转化方法，迁移深化，由此及彼，有利于学生联想思维的训练。

总之，新课程下小学数学教学中多进行发散性思维的训练，不仅要让学生多掌握解题方法，更重要的是要培养学生灵活多变的解题思维，从而既提高教学质量，又达到培养能力、发展智力的目的，为培养学生终身学习打下坚实基础。

参考文献：

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【关键词】发散思维；创造力；初中生；干预实验研究

中图分类号：B842.3文献标识码：A文章编号：1000-6729(2007)03-00169-04

创造力是指人在解决问题时，在创造性个性的激励下，对信息进行发散思维加工，经过流畅性、变通性、独特性而产生新颖且具有价值成果的能力。对于创造力的研究，许多学者的共识是创造性思维和创造性个性是构成创造力的重要成分，而创造性思维的核心是发散思维。发散思维也称求异思维或辐射思维，是对同一个问题探讨不同的、特异的解决方案的思维过程和思维方法［1］。

南锡（Nancy）等人在总结211项研究成果（1972）并计算各种能力的遗传决定系数、环境决定系数中发现，发散思维的遗传决定系数为0.22，是最小的一个，提示发散思维能力是最容易接受环境的影响而发展的［1］。吉尔福特（Guilford）在研究智力的三维结构模型时，对创造力所涉及的思维能力进行了实证研究，指出训练人的发散思维能力是培养创造力的一种方法［2］。心理学家玛丽.米克把这一理论最早应用于实际建立了智力结构研究所，编制了许多提高学生能力的练习［3］。美国的西德尼.帕纳斯及其助手以大学生为研究对象，开设了二年的研究，结果学生的创造能力有显著的提高［4］。沈德立等人对中学生进行发散思维训练，探讨培养中学生创造力的可行性及有效措施［5］。李孝忠根据吉尔福特智力三维模型开发了中学生创造性个性测验、学生发散思维测验［6］。张向葵等采用国内修订的托伦斯图形创造力测验对阅读障碍儿童的创造力特征进行研究［7］。

本文以吉尔福度模型为指导在探讨制约个性创造行为的心理因素的基础上，构建了以认知能力为基础，以创造性个性和发散思维为中心内容的多维度、多层次的培养目标，探讨发散思维训练对创造性个性和创造性思维的影响，探索培养创造力的有效途径。

1对象与方法

1.1对象选取长春市东北师大附属实验学校（重点）初中一年级两个班，其中一个为实验班（n=62），另一个是对照班（n=57）。实验班与对照班学生的性别、年龄、一般智力和学习成绩无显著差异，两个班级教师的性别、年龄、教龄和学历基本相似。

1.2干预方法

以吉尔福特模型［2］为指导，编制发散思维训练材料。根据24种能力内容的性质分为四组，按由易到难的原则安排：6种视觉内容的发散思维能力安排在最前面，其次是6种语义内容的发散思维能力训练内容，再次是6种符号内容的发散思维能力训练内容，6种行为内容的发散思维能力训练内容安排在最后。并编制了训练手册供教师使用，训练手册向教师介绍了练习题目的编制原则，列出了练习题目及参考答案，规定了基本教学模式，说明了教师应注意的事项。由东北师大心理系一名研究生使用发散思维训练手册，按24种不同内容的训练活动顺序对实验班学生进行每周一课时发散思维训练，培养学生的发散思维、辅合思维和创造性个性等品质，为期一年，对照班不进行训练。训练课模式采取教师指导下的自学讨论，包括呈现问题、自学思考、小组或班级讨论、引导发散和评价等环节。对实验教师采用自学“训练手册”和边干边学的方式进行培训，并辅以与其他实验点教师相互听课、经验交流、教学观摩等，以保证实验教师正确理解与实施实验方案，有效地落实训练活动。在实验开始前、后使用创造性思维（TTCT）［1］、发散思维测验［1］和创造性个性测验［1］对两班学生施测。

1.3工具

1.3.1托伦斯创造思维测验［1］

托伦斯创造思维测验(TTCT)［1］以美国明尼苏达大学教育系主任托伦斯1966年编制的托伦斯创造思维测验(TTCT)为原型。该测验（由东北师范大学心理系李孝忠修订）由言语创造思维测验、图形创造思维测验及词创造思维测验构成，本研究仅采用了图形创造思维测验部分。该部分又由构造图形（简称：第一部分）、完成图形（简称：第二部分）和建造图形（简称：第三部分）三部分组成。其中第一部分是以一个曲边图形为图形的一部分画一幅画或一个物体；第二部分要求被试在给定的十个未完成图形上加任意的线条，使之成为一个完整而有趣的图画；第三部分要求被试在给定的三十对平行竖线内、线上或线外加任意的线条，使之成为一幅画或一个物体。该测量的创造力维度为：①流畅性（迅速产生大量意念和见解）；②独特性（产生新颖独特、别有见地的见解）；③标题抽象性（产生点明主题，概括图形内容的见解）；④精细性（反应的详细和特殊性）；⑤抗过早闭合性（不是立刻用直线或曲线来封闭为完成的图形）。该量表经过7000多人的测试，表明有良好的信度，其信度值为0.86。

1.3.2中学生创造性个性测验［1］

采用东北师大心理系李孝忠教授“八五”期间编制的中学生创造性个性测验。该测验包括独立性、自信心、好奇心、冒险敢为、表达欲、想象幻想、敏感性、幽默感8个分测验。重测信度0.88,分半信度为0.83,同质性信度为0.83。当把8个分测验的测试数据与另外6个语义发散思维的测试数据放在一起进行斜交旋转的因素分析时，结果8个创造性个性测验集中在一个因素轴上，另6个测验集中在另一个因素轴上，提示其结构效度良好。

1.3.3学生发散思维测验［1］

该测验由东北师大心理系李孝忠教授“八五”期间编制。根据美国心理学家吉尔福特的研究，发散思维能力具有多维度、多层次的特点。发散思维能力测验包括符号发散思维、语义发散思维和行为发散三个内容维度；思维流畅性、变通性和独特性是发散思维的一连串加工过程中的不同层次和水平。流畅性是单位时间内发散项目的数量；变通性是单位时间内发散项目的种类；独特性是单位时间内新颖独特的发散项目［2］。包括符号发散思维、语义发散思维、行为发散思维三个分测验。全测验的信度系数为0.81，符号、语义和行为三个分测验的信度系数分别为0.80、0.70和0.73。对119名被试的测试数据进行统计分析表明，符号与语义的相关系数为0.33，符号与行为的相关系数为0.38，语义与行为的相关系数为0.53，三个分测验的数据中含有一个共同因素，即发散思维能力，证明测验的结构效度良好。

符号发散思维、语义发散思维和行为发散思维三个分测验成绩按五个等级评分，每道题目的答案在10个以上记4分；答案在6个以上记3分；答案在2-6个记2分；答案2个以下记1分；答案是零则记0分。还可以根据思维流畅、变通性和独特性统计不同层次的发散思维得分。发散项目为流畅性得分，发散项目的种类为变通性得分，超出一般学生所能想到的答案，作为独特性得分。如语义发散思维测验中的一个题目：请你在2分钟之内写出与“休息”意义相近的词，越多越好。一个学生写出听音乐、打盹、稍息、散心、长眠、闲谈、放松、静止不动、催眠、看电影、溜冰、养精蓄锐、以逸待劳、退休、郊外度假15个答案。其发散项目为15，答案超过10个，则语义发散思维得分为4分，流畅性得分为15分；发散项目的种类为同义词、近义词、转义词、成语、其他等5种，则变通性得分为5分；催眠是超出一般学生所能想到的，所以看作独特性。如果一种答案颇有新意，在同一年级中只有5%的人答出，可记2分；如果某种答案很有特色，在同一年级中只有10%的人答出，则记1分；如果答出某种答案的人数很多，超过10%，那么独特则记0分。最后采用标准分，可以得到符号发散、语义发散、行为发散、流畅性、变通性和独特性不同内容不同层次的发散思维得分。

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1.4统计方法采用t检验。

2结果

2.1实验班与对照班创造性思维、创造性个性和发散性思维测验前测和后测成绩比较

表1实验班与对照班学生创造性思维、创造性个性和发散性思维测验评分比较（x±s）

指标训练前实验班(N=62)对照班(N=57)t值P值

训练后实验班(N=62)对照班(N=57)t值P值

表1显示训练前两班学生的创造性个性、创造性思维测验评分差异均无显著性。训练后，创造性个性的独立性、冒险敢为和表达欲评分实验班高于对照班；创造性思维测验的流畅性、独特性、标题抽象性评分实验班高于对照班。创造性个性和创造性思维的总评分实验班高于对照班。

2.2训练前后实验班与对照班学生发散思维测验评分比较

表1显示训练前两班学生发散性思维测验各指标评分差异均无显著性,训练后实验班评分高于对照班。对发散性思维能力的不同内容、不同层次进行分析，发现符号发散、语义发散、行为发散、流畅性、变通性和独特性六个方面，实验班评分均高于对照班。

3讨论

3.1发散思维训练对初中生创造性思维的影响

本研究表明，经过发散思维训练，实验班的创造性思维测验评分高于对照班，说明发散思维训练对提高学生创造性思维能力有效，与西德尼、帕斯及其助手的研究结果一致［4］。吉尔福特曾指出，发散思维具有流畅性、变通性和独立性。它在创造性地解决问题时起着核心作用。而南锡（Nancy）的研究则指出，发散思维能力最容易受环境教育的影响而不断发展［1］。因此，学生在接受了发散思维训练之后，首先发展了发散思维的能力，继而提高了创造性思维的测试成绩。此外，为期一年的思维训练不仅使学生的发散思维能力得到了锻炼与提高，而且也很可能使他们在解决问题时形成了一种良好的思维习惯，力求获得新颖独特的答案或找到更具创新性的解决途径，在思维流畅性、独特性和标题抽象性方面有较大提高。而在精细性和抗过早闭合性方面没有显著提高，可能是由于发散思维训练没有与学科教学联系有关，有待于在创造力培养方面做进一步的研究。

3.2发散思维训练对初中生创造性个性的影响

关于数学思维的训练范文篇3

一、激发学生思维动机

动机是人们“因需要而产生的一种心理反映”，它是人们行为活动的内动力。因此，激发学生思维的动机，是培养其思维能力的关键因素。

教师如何才能激发学生思维动机呢？这就要求教师必须在教学中充分发挥主导作用，根据学生心理特点，教师有意识地挖掘教材中的知识因素，从学生自身生活需要出发，使其明确知识的价值，从而产生思维的动机。例如：在教学“按比例分配”这一内容时，首先要使学生明确学习这一知识的目的：在平均分不合理的情况下，就产生了按比例分配这种新的分配方法。教学时可设计这样一个问题：一个车间把生产500个零件的任务交给了张师傅和李师傅，完成任务后要把500元的加工费分给他们。结果张师傅加工了300个零件，李师傅加工了200个零件。这时把500元的加工费平均分给他们合理吗？从而引发出学生探求合理的分配方法的思维动机。

这样设计教学既渗透了“知识来源于生活”的数学思想，又使学生意识到学习知识的目的是为了解决生活和生产中的实际问题。学生的学习动机被激发起来了，自然会全身心地投入到后面的教学活动之中。

可见，创设思维情境，激发学生的思维动机，是对其进行思维训练的重要环节。

二、一题多解、变式引伸，训练思维的广阔性

思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。例如：教学三年级一道应用题，雪梨和苹果一共有344个。苹果的个数是雪梨的3倍，雪梨有几个？苹果有几个？教学的时候，先画出线段图帮助分析，知道把344平均分成4份，其中1份，就是雪梨的个数86个。求苹果的个数可以怎样算呢？先让学生讨论。有些学生说，可以用雪梨的个数86个乘3就得到苹果的个数258个。我说：“除了这种方法外，还有没有其它方法。”另一些学生马上说：“也可以用总数344减去雪梨的个数86得到苹果的个数258个。通过计算结果相同，再启发学生，我们做题，有时不只一种解法，只要我们多动脑，勤思考，我们就能学习更多的知识。

三、转换角度思考，训练思维的求异性

发散思维活动的展开，其重要的一点是要能改变已习惯了的思维定向，而从多方位多角度——即从新的思维角度去思考问题，以求得问题的解决，这也就是思维的求异性。从认知心理学的角度来看，小学生在进行抽象的思维活动过程中由于年龄的特征，往往表现出难以摆脱已有的思维方向，也就是说学生个体（乃至于群体）的思维定势往往影响了对新问题的解决，以至于产生错觉。所以要培养与发展小学生的抽象思维能力，必须十分注意培养思维的求异性，使学生在训练中逐渐形成具有多角度、多方位的思维方法与能力。例如，四则运算之间是有其内在联系的。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，加与乘之间则是转换的关系。当加数相同时，加法转换成乘法，所有的乘法都可以转换成加法。加减、乘除、加乘之间都有内在的联系。如189-7可以连续减多少个7？应要求学生变换角度思考，从减与除的关系去考虑。这道题可以看作189里包含多少个7，问题就迎刃而解了。这样的训练，既防止了片面、孤立、静止看问题，使所学知识有所升华，从中进一步理解与掌握了数学知识之间的内在联系，又进行了求异性思维训练。在教学中，我们还经常发现一部分学生只习惯于顺向思维，而不习惯于逆向思维。在应用题教学中，在引导学生分析题意时，一方面可以从问题入手，推导出解题的思路；另一方面也可以从条件入手，一步一步归纳出解题的方法。更重要的是，教师要十分注意在题目的设置上进行正逆向的变式训练。如：进行语言叙述的变式训练，即让学生依据一句话改变叙述形式为几句话。逆向思维的变式训练则更为重要。教学的实践告诉我们，从低年级开始就重视正逆向思维的对比训练，将有利于学生不囿于已有的思维定势。