概率统计篇1

【关键词】等可能性；机会；概率；随机；变量数学

信息社会，人们每天都面对着大量的数据和信息，常常需要在不确定情景中，根据大量无组织的数据，作出合理的决策，如购、降雨概率、买卖股票的收益、统计部门大量的数据统计及决策等.概率与统计正是通过对数据的收集、整理、描述和分析以及对不确定现象和事件发生可能性的刻画，来为人们更好地制定决策提供依据和建议.

部分中小学生会对概率统计产生某些错误概念，概率概念高度抽象，随机现象很难把握，尤其是概率说理有一个特殊的问题，那就是它有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维形成冲突.如，在教“三角形任意两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半”时，只需作图，并稍作推理，学生就能接受这一事实，但若教“抛掷一枚匀称的骰子，掷得一点的概率为”时，教师却不能在数次或几十次实验后，保证学生能观察到这一事实.而且要让学生接受，要用大数次观察的频率作为一次试验概率的估计值这一观点更非易事，这正是造成概率概念难教难学的原因之一.

李俊博士对中小学概率统计的研究为我们制定教学策略提供了宝贵的依据和深刻的启示：

分析产生错误认识的原因尽管是多方面的，比如，每名学生的数学现实与生活经验不同，不同文化的影响，题目中的数据和背景，等等，但更重要的一点还在于学生从小学到中学学习常量数学所形成的片面地、孤立静止地看问题的思维方式和习惯，不适应于随机变量数学的学习.为此，相应的概率概念的教学策略应是：

第一，引导学生用全面的、联系的、运动变化的观点看问题，学会辩证思维.

概率与统计和微积分等变量数学进入中小学，彻底打破了以往常量数学长期独占天下的格局，片面地、孤立静止地分析和解决问题的思维方式与习惯已完全不能适应新数学课程的学习.学生必须学会用全面的、联系的、运动变化的观点分析和解决问题，在学会概率思维的同时学会辩证思维，教师要引导帮助学生逐步树立辩证唯物主义的世界观和方法论.

比如，“比例数”是静态概念，“概率”是动态概念，古典概率计算体现了“动”与“静”的辩证观.例如，“静态”地看，一颗骰子奇数点所占的比例数为■；“动态”地讲，任意掷一次出现奇点的概率为■.不难看出，在“静态”向“随机”转化时，“比例数”相应于“概率”.然而，概率思维与比例推导却是基于两种截然不同的心智模式.

第二，以具体直观教学活动把握随机性理解抽象概念，培养学生的随机性数学意识.

数学思维活动建立在直接感知具体形式的基础上才能形成生动的直观和活泼的想象，概率概念教学应通过真实的活动、真实的数据和直观模拟，让学生在做中学.教师要创造问题情境鼓励学生检查、修改和更正他们对概率的信念和常发生的错误认识，帮助学生分析和发现产生错误认识的原因，采取探究式的学习策略学习概率概念知识，结合实验教学，让学生通过实例认识到机会可以被量化，大量重复试验会使频率趋于稳定，接受用频率估计概率的思想，逐步引入概率的公理化定义.

关于随机性数学意识的培养，我们可以从以下三个方面着手：（1）改进教学方式.我们应注重确定性数学与不确定数学的联系，统计与概率的联系，概率统计知识与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系；注重学生的实践，使教学的视野延伸到广阔的社会中去；还应该注重学生的合情推理和逻辑推理.（2）转变思维方式.概率可以用频率近似代替，但频率是变数，而概率是定值，这里有变与不变的辩证关系；小概率事件虽然有发生的可能性，但概率太小，我们就认为是不可能事件，这又体现了可能与不可能的辩证关系.当然，思维方式的转变绝非一朝一夕之事，在此过程中，应首先学会学会“返璞归真”，即当所学的新知识在原认知结构中没有恰当的知识与之同化时，就必须以原始的初级的思维方式重建认知结构，以形成顺应.其次是学会“合理利用”，即当思维回到原始状态时，认知结构中一些看似已没有价值的经验却是可供利用的最好的工具，因为它已塑造了个人的数学修养，而数学修养是从“原始”走向“文明”的催化剂.（3）改进学习方式.学生在学习中应该逐渐形成“用数学”的意识.在学习中，一方面要不断地丰富“模式库”，另一方面还要不断提高创建模式的能力.如果在学习的过程中不断地努力创建模式来解决新问题，就能在丰富模式库的同时，不断提高解题能力.

第三，培养模型意识和应用能力.

见于有些错误的发生常与题目中的数据和背景有关，因此，概率教学中要有意识地训练学生用不同的替代物来模拟同一个概率问题，使学生认识到怎样由现实随机问题抽象出概率模型，并能举例说明某一概率模型的若干现实原型.

总结

在教学中根据学生的各种错误概念，科学地设计实例实验，就等于为学生搭起了脚手架，提供了有利的学习环境，才可以保证学习活动的有效性.如何更好地实施教学实现2001版《标准》中的要求，给出以下几点建议：

（1）突出统计思维的特点和作用；

（2）统计教学应通过案例来进行；

（3）注重从数据中提取信息；

（4）重视对概率模型的理解和应用，淡化繁杂的计算；

（5）注重对随机现象与概率的意义的理解；

概率统计篇2

一、考情分析

概率统计试题对知识点的考查较为全面，以理科数学为例，考点覆盖了概率统计必修与选修的各个章节内容，考查了抽样方法，统计图表，数据的数字特征，用样本估计总体，回归分析，独立性检验，古典概型，几何概型，条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率，离散型随机变量的分布列、数学期望与方差，超几何分布，二项分布，正态分布等基础知识和基本方法.

二、热门考点预测

热点1：随机抽样

例1.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点.公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）

A.分层抽样法，系统抽样法

B.分层抽样法，简单随机抽样法

C.系统抽样法，分层抽样法

D.简单随机抽样法，分层抽样法

解析：一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽样法较好.在丙地区中抽取的样本个数较少，易采用简单随机抽样法.答案选B.

点评：本题主要考查简单随机抽样、分层抽样、系统抽样这三种抽样的区别.

例2.某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生做牙齿健康检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（）

A.5B.7C.11D.13

解析：间隔数k=■=16，即每16人抽取一个人.由于39=2×16+7，所以第1小组中抽取的数为7.答案选B.

点评：本题考查系统抽样的计算，系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当■不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列.

热点2：用样本估计总体

例3.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（）

A.5B.4C.3D.2

解析：依题意可得10×（0.005+0.01+0.02+a+0.035）=1，则a=0.03.所以身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生比例为3∶2∶1.所以从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3.答案选C.

点评：1.看频率分布直方图时需注意：（1）各组的频率之和为1；（2）频率分布直方图的纵坐标是■，而不是频率；2.由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：（1）■×组距=频率.（2）■=频率，此关系式的变形为■=样本容量，样本容量×频率=频数.

例4.如图是2017年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（）

A.85，84B.84，85

C.86，84D.84，86

解析：由图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84，84，84，86，87.平均数为■=85，众数为84.答案选A.

点评：茎叶统计图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好.绘制茎叶图时需注意：（1）“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；（2）重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据.

热点3：变量的相关性、统计案例

例5.某单位共有名员工，他们某年的收入如下表：

已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、4.5万元、5.6万元、7.2万元，预测该员工第五年的年薪为________.

附：线性回归方程■=■x+■中系数计算公式分别为：

■=■，■=■-■■，其中■、■为样本均值.

解析：设xi，yi（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则■=2.5，■=5，

■（xi-■）2=2.25+0.25+0.25+2.25=5.

■（xi-■）（yi-■）=-1.5×（-2）+（-0.5）×（-0.8）+0.5×0.6+1.5×2.2=7.

■=■=■=1.4.

■=■-■■=5-1.4×2.5=1.5.

由性回归方程：y=1.4x+1.5.可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元.

点评：考纲中对“变量的相关性”要求，有两个“会”、一个“了解”、一个“能”，是一个完整的作散点图、求回归方程，并给出回归分析的统计过程，试题常体会在“会”、“能”两个要求上，不要求记忆线性回归方程系数公式，而对于统计案例，不要求记忆独立性检验随机变量K2值的计算公式，能根据公式计算结果给出独立性检验结论即可.

热点4：古典概型

例6.某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，拟在未来连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好有2天连续的概率是（）

A.■B.■C.■D.■

解析：连续7天中随机选择3天，有C37=35种情况，其中恰好有2天连续，有4+3+3+3+3+4=20种情况，所以所求的概率为■=■，答案选D.

点评：计算古典概型事件的概率三步骤：1.算出基本事件的总个数n；2.求出事件A所包含的基本事件个数m；3.代入公式P（A）=■求出概率P.理科试题一般会结合排列组合知识求事件数.

热点5：条件概率

例7.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校青年志愿者的竞选.在男生甲被选中的情况下，则女生乙也被选中的概率为________.

解析：设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则P（A）=■=■，P（AB）=■=■，P（B|A）=■=■.故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为■.

点评：本题主要考查条件概率的计算，有两种方法：1.定义法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）=■，求P（B|A）；2.基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）=■.2014年全国卷II以选择题形式考查过条件概率，只能用条件概率的定义法求解.

热点6：几何概型

例8.设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）

A.■B.■C.■D.■

解析：题目中0≤x≤2，0≤y≤2表示的区域表示正方形区域，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此P=■=■，答案选D.

点评：本题立意简洁清新，将线性规划和几何概型（事件区域的度量为面积）自然结合，训练解题基本功.2016年全国I卷以选择题形式考查了几何概型（事件区域的度量为长度），几何概型值得重视.

热点7：正态分布

例9.抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X近似服从正态分布，平均成绩为500分.已知P（400

解析：由下图可以看出P（550

点评：正态分布的问题的考查无非是符号本身的认识以及图像的了解.解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.1.利用试题提供的P（μ-σ

热点8：随机变量及其分布列

例10.调查表明：甲种农作物的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω=x+y+z的值评定这种农作物的长势等级，若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，t长势为三级，为了了解目前这种农作物长势情况，研究人员随机抽取10块种植地，得到如下表中结果：

（Ⅰ）在这10块该农作物的种植地中任取两块地，求这两块地的空气湿度的指标z相同的概率；

（Ⅱ）从长势等级是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为A，从长势等级不是一级的种植地中任取一块地，其综合指标为B，记随机变量X=A-B，求X的分布列及其数学期望.

解析：（Ⅰ）由表可知：空气湿度指标为1的有A2，A4，A5，A7，A9，A10.

空气湿度指标为2的有A1，A3，A6，A8，

在这10块种植地中任取两块地，基本事件总数n=C210=■=45.

这两块地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m=C26=C24=■+■=21.

这两地的空气温度的指标z相同的概率P=■=■=■.

（Ⅱ）由题意得10块种植地的综合指标如下表：

其中长势等级是一级（ω≥4）有A1，A2，A3，A5，A6，A8，A9，共7个，

长势等级不是一级（ω

随机变量X=A-B的所有可能取值为1，2，3，4，5，

w=4的有A1，A2，A5，A6，A9共5块地，w=3的有A7，A10共2块地，

这时有X=4-3=1.

所以P（x=1）=■=■，同理P（x=2）=■=■，P（x=3）=■=■，P（x=4）=■=■，P（x=5）=■=■，

X的分布列为：

E（X）=1×■+2×■+3×■+4×■+5×■=■.

点评：1.求离散型随机变量的分布列的关键是分析清楚随机变量的取值有多少，并且正确求出随机变量所取值对应的概率.2.在求解随机变量概率值时，注意结合计数原理、古典概型、二项分布、超几何分布等知识求解.

例11.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：

若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.

已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.

（I）若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；

（II）该基地是否应该外聘工人，请说明理由.

解析：（I）设下周一有雨的概率为P，由题意，p2=0.36，p=0.6，基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P（X=20）=0.36，P（X=15）=0.24，P（X=10）=0.24，P（X=7.5）=0.16，基地收益X的分布列为：

E（X）=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4，

基地的预期收益为14.4万元.

（II）设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，

则其预期收益E（Y）=20×0.6+10×0.4-a=16-a万元，

E（Y）-E（X）=16-a，

综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；

成本低于1.6万元时，外聘工人；

成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以.

概率统计篇3

易错剖析一：抽样方法含义理解不清致误

例1学校附近的一家小型超市为了了解一年的客流量情况，决定用系统抽样从一年中抽出52天作为样本实施调查（即从每周抽取1天，一年恰好有52个星期），你觉得这样的选择合适吗？为什么？

错解：在这种情况下适合采取系统抽样.

错因分析：这家超市位于学校附近，其顾客很多为学生，客流受到学生作息时间的影响，如周末时，客流量会明显减少，如果用系统抽样来抽取样本，起始点抽到星期天的话，样本代表的客流量会明显偏低，另外，寒暑假也会直接影响超市的客流量.

正解：利用简单随机抽样和分层抽样，可以把一周分为7天，一年分52层，每层用简单随机抽样的方法，抽取适当的样本进行调查.

易错剖析二：概率与频率的关系不清致误

例2下列说法：

①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；

②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn；

③频率是不能脱离n次试验的试验结果，而概率是具有确定性的，不依赖于试验次数的理论值；

④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.

其中正确命题的序号为.

错解：①④.

错因分析：对概率和频率的关系认识不清，导致误判.如对于说法②，认为事件发生的频率就是事件发生的概率，再如对事件发生的概率的确定性认识不清，就可能认为说法③不正确等.

正解：①③④.

易错剖析三：误解基本事件的等可能性致误

例3任意投掷两枚骰子，求出现点数和为奇数的概率.

错解：点数和为奇数，可取3，5，7，9，11共5种可能，点数和为偶数可取2，4，6，8，10，12共6种可能，于是出现点数和为奇数的概率为55+6=511.

错因分析：上述解法是利用等可能性事件的概率模型，此时必须保证每一个基本事件出现的可能性均等，而上述解法点数为奇数、偶数出现的机会显然不均等，则不能用等可能性事件的概率模型来解答.

正解1：出现点数和为奇数，由数组（奇、偶）、（偶，奇）组成共有3×3+3×3=18个不同的结果，这些结果的出现是等可能的，故所求的概率为1836=12.

正解2：若把随机事件的全部等可能结果取为：（奇、奇）、（奇、偶）、（偶，奇）（偶、偶）.点数和为奇数的结果为（奇、偶）、（偶，奇）两种，故所求概率为24=12.

易错剖析四：几何概型概念的不清致误

例4在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在∠ACB的内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM

错解：在AB上取AC′=AC，在∠ACB内作射线CM看作在线段AC′上任取一点M，过C，M作射线CM，则概率为AC′AB=ACAB=22.

错因分析：上述作法好像很有道理，为什么错误呢？值得深思.考查此解法是否满足几何概型的要求，虽然在线段上任取一点是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，在确立基本事件时，一定要选择好观察角度，注意判断基本事件的等可能性.

正解：在∠ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任意位置都是等可能的，在AB上取AC′=AC，则∠ACC′=67.5°，故满足条件的概率为67.5°90°=34.

易错剖析五：互斥与对立事件相混淆致误

例5把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：.（填写“对立事件”、“不可能事件”、“互斥但不对立事件”）

错解：对立事件.

错因分析：本题的错误在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别：两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；互斥的概念适合多个事件，但对立概念只适合于两个事件；两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；两事件对立则表示他们有且只有一个发生.

正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰好有一个发生，也可能两个都不发生，所以应选“互斥但不对立事件”.

易错剖析六：混淆互斥事件与相互独立事件致误例6一个通讯小组有A、B两套通讯设备，只要有一套设备正常工作，就能进行通讯，A、B设备各有2个、3个部件组成，只要其中有1个部件出现故障，这套设备就不能正常工作，如果在某段时间内每个部件不出现故障的概率都为p，试计算在这段时间内能进行通讯的概率.

错解：由题意知：在某段时间内A、B两套通讯设备能正常工作的概率分别为P（A）=p2，P（B）=p3，则在这段时间内能进行通讯即A、B至少有一个能正常工作，故在这段时间内能进行通讯的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）=p2+p3.

错因分析：题中A、B两套通讯设备能正常工作这两个事件是相互独立的，上面所用的公式是两个互斥事件有一个发生的概率，互斥与独立是不同的两种关系，一般没有必然联系，不能混淆，把互斥结果套用在独立事件中是错误的，只有当A、B中一个是必然事件，另一个是不可能事件时，A、B既是互斥事件，又是独立事件.

正解1（逆向思考）：A、B至少有一个能正常工作的对立事件为：A、B都不能正常工作，A不能正常工作的概率为1-p2，B不能正常工作的概率为1-p3，则在这段时间内能正常进行通讯的概率为1-（1-p2）（1-p3）=p2+p3-p5.

正解2（正向思考）：A、B两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且这三个事件彼此互斥.故在这段时间内能正常进行通讯的概率为p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2・p3=p2+p3-p5.

易错剖析七：忽视公式成立的条件致误

例710张奖券中有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰好有1人中奖的概率为（）

（A）C310×0.72×0.3（B）C13×0.72×0.3

（C）310（D）3A27A13A310

错解：因题中有“恰好有1人中奖”，根据n次独立重复试验恰好出现k次的概率计算公式Pn（k）=Ckn・pk・（1-p）n-k，马上得到答案（B）.

错因分析：用独立重复试验的概率公式进行计算时，它有三个前提条件：

（1）每次试验都是在同一条件下重复进行的；

（2）每一次试验都彼此独立；

（3）每一次试验出现的结果只有两个.

只有这三个条件均满足才可使用，而此题中3个购买者去购买奖券时，由于是不放回抽样，所以彼此之间不独立的，则不能用上述公式解答.

正解：3个人从10张奖券中各购买1张奖券出现的结果数为A310个，且出现的可能性均等，恰好有1人中奖出现的结果为3A27A13，故恰好有1人中奖的概率为3A27A13A310，选（D）.

易错剖析八：求概率过程中把有序还是无序混为一谈致误例8一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球，从口袋中取球两次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次从剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.

错解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只红球，故取到的2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14，依据等可能性事件的概率的求法，则取到的2只球中至少有1只白球的概率为A24+A12A14A26=23.

错因分析：这是古典概率常见的模型――摸球模型，有“有序”与“无序”之分，不能混淆.从上述解法中可知：取球的过程是有顺序的，那么取到1只白球1只红球这种情况中有第一次取到白球、第二次取到红球与第一次取到红球、第二次取到白球两种不同的情况.

正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14+A14A12，故所求概率为A24+2A12A14A26=1415.

正解2（逆向思考）：所求事件的对立事件是：取到的2只球都是红球，故所求概率为1-A22A26=1415.

概率统计篇4

如本校数学与应用数学专业和信息与计算科学专业，该课程实践教学主要是利用计算机对理论知识的模拟和实证。这样的实践教学对理论知识的理解有一定的帮助，但对于实际的运用却缺少训练。基于此，在实践教学过程中，我们设计了一些与专业实践应用相结合的实践教学内容，并在教学中尝试使用，取得了良好的效果。

二、设计思路

1.实验内容与专业特点相结合。作为师范类数学，毕业后主要从事教育教学工作。在教育教学工作中，免不了要对教学质量、教学效果等进行分析，需要用到统计知识。因而在设计实践教学内容时，应根据学生就业后的需求情况，结合教育统计与教学测评等内容，设计专业特点较强的实验题目（内容），如调查当地学生数学能力状况、调查某一教学内容教学效果情况等。通过实际操作，使学生掌握教育统计研究的方法，不仅提高学生的能力，也为今后在教育教学工作中开展科学研究打下基础。2.软件的选用。目前，专业的统计软件有SAS、SPSS、Eviews、R等，这些软件的专业性很强，功能也非常强大。但本人认为作为非专业的一般使用者，选用Excel就可以了，其原因主要有以下几个方面：第一，专业软件对于非专业人员要运用自如有一定难度；第二，专业软件不少需要购买，且价格昂贵，一般人难以承受；第三，Excel软件是一款使用广泛的办公软件，且较易学；最后，Excel软件提供了丰富的函数，可以进行数据处理、统计分析和决策辅助以及制图等功能，完全能够满足基础的统计分析工作。因此，在实践教学中建议选用Excel软件。3.突出实用性，增加综合运用。《概率论与数理统计》课程的实验主要以模拟和实证分析为主，缺乏结合实际、应用性强的实验。在设计实验内容时，应结合实际的应用，设计综合性、操作性较强的实验题目，以项目的形式组织学生分组开展实验实训活动。例如设计题目《中学生数学能力的调查研究》，在此题之下可以分多个小题，如《中学生空间想象能力的调研》、《中学生性别差异对空间想象能力的影响研究》等等，让学生6～8人一组，每组选择一题开展研究。

三、实践实例

在完成理论学习的基础上，利用实践教学环节，结合教育工作的需要，设计综合性的实践教学内容，并通过组织学生分组开展实验，从而加深学生对理论知识的理解，同时提高学生的实际应用能力。下面通过三个案例说明实践教学的设计和开展。实例1：2011年全国五个自治区教育经费投入情况对比分析。实验目的：（1）使学生学会利用相关资源收集、整理数据；（2）利用Excel软件描绘柱形图。实验过程设计：1.数据的收集。根据收集方式的不同，统计数据可分为间接数据和直接数据。实例1中的数据为间接数据，其收集的主要方法有：（1）通过《中国统计年鉴》、《中国统计摘要》及各省、市、地区的统计年鉴等公开出版物收集数据；（2）利用中华人民共和国国家统计局、中国经济信息网等网站查询数据；（3）到各地方统计局查询统计数据。在此实验中要求学生按5人一组，通过中华人民共和国国家统计局网站，查询相关数据（如图1所示），并对数据进行筛选、整理，得到2011年全国五个自治区教育经费投入情况数据。最后利用Excle软件绘制数据表，并录入所需数据，得到2011年全国五个自治区教育经费投入情况数据表（见表1）。由图2可知，2011年全国五个自治区中，广西的教育经费投入最多，投入最少；另外内蒙古、广西、新疆的教育经费相差不大，、宁夏相对较少。实验小结：该实验是统计分析中的一个基础性实验，主要教会学生利用网络、图书、杂志等途径收集数据，并利用Excle软件对数据进行预处理，最后根据绘制统计分析图，得出分析结论。类似的还可练习绘制饼状图、折线图、直方图等图形。另外，根据学生情况还可以适当深入（如三维数据图，多变量数据分析图等），但应保持与专业特点相结合。实例2：对学生考试成绩进行统计分析。实验目的：（1）学会制作统计表格；（2）学会利用Excel软件进行描述性统计；（3）学会使用Excel软件中的相关函数进行统计汇总。实验过程设计：1.制作统计表并录入本班学生某次考试成绩（表格前6行如图3所示）。2.在“工具”菜单中选择“数据分析”子菜单，并在弹出的窗口中选择“描述统计”，点击“确定”后将需要进行描述统计的数据选入“输入区域”，依次选定输出区域以及需要输出的统计值（如汇总统计、平均置信度等），确定之后可生成描述统计表（如表2）。3.利用COUNTIF等函数求出学生各分数段人数、优秀率、及格率等数据（如表3）。实验小结：该实验通过对学生成绩的统计分析，教会学生利用Excel软件中的相关函数和数据分析工具进行统计，对学生今后在事教育工作中进行教学质量分析有一定帮助。在此基础上，还可以进行拓展，如分析多门课程成绩情况；分析各班级间成绩是否存在显著性差异；男、女生学习成绩是否存在显著性差异等问题。实例3：中学生数学能力调查分析。实验目的：（1）使学生学会调查问卷的设计，并了解开展问卷调查的流程；（2）利用Excel软件对问卷数据进行方差分析。实验过程设计：1.设计问卷。中学生数学能力主要包括：数学的运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力、实际应用能力等，在设计问卷时，让学生分成4组，每组设计一类能力测试题。学生人数较多时，可分成8组，每两组负责一类试题，各组分别完成设计。各组设计好的试题，由大家讨论，挑选出部分题目，综合成为中学生数学能力测试卷。2.分组调查。学生分组到各中学进行问卷调查。在实施调查前，先根据该校学生名录，采用随机数表法抽取被调查学生名单，然后根据抽样名单完成问卷调查，以保证数据的有效性。最后，根据收回的有效问卷整理出相关数据。3.方差分析。利用Excel软件数据分析中的方差分析模块，对整理好的数据进行方差分析。分析内容可设置为性别对学生各种能力是否存在显著性影响；年龄对学生各种能力是否存在显著性影响；民族对学生各种能力是否存在显著性影响；等等。学生分组选择一个内容进行分析，并完成分析报告。在之后的小组交流中，每组派一名代表阐述本组的分析过程和分析结果，大家再讨论分析是否正确、结果是否合理等。实验小结：该实验综合性加强，在实验过程中涉及到抽样调查、数据预处理、统计分析等内容。该内容以项目进行，大项目中分子项目，由学生分组合作完成，在这样的实验活动中，学生既学到了专业知识，锻炼了专业技能，又培养了团结协作、互相交流的品质。

四、认识与思考

概率统计篇5

为了了解某区初一年级9000名学生的视力情况，从中抽查了200名学生的视力，就这个问题来说，下列说法中正确的是（）

A.9000名学生是总体

B.每个学生是个体

C.200名学生是抽取的一个样本

D.样本容量是200

A.

本题做错的原因往往是因为不理解总体、个体、样本、样本容量四个概念.本题中7000名学生的视力情况为总体；个体是每个学生的视力情况；样本是200名学生的视力情况；样本容量是200.

D．

计算方法或公式应用错误

在一次科技知识竞赛中，一组学生的成绩统计如下：

求这组学生成绩的中位数和众数.

把分数按从小到大的顺序排列为50，60，70，80，90，100.处在中间的两个数是70和80，平均值为75，所以这组学生成绩的中位数是75分.因为90分的学生人数是14，是最多的，所以众数是14.

这组数据一共有50个，重复出现的数据有几个算几个数据，所以我们应该分析的是这50个数据的中位数，而上述解法中只分析了出现过的6个数据.众数一定是所给的数据中的某个数，而不是出现的次数.

这组学生成绩的中位数是80分；因为90分的学生人数是14，最多，因此这组学生成绩的众数是90分.

动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，那么现年20岁的这种动物活到25岁的概率是多少？

现年20岁的这种动物活到25岁的概率是0.8－0.5＝0.3．

不能简单地将本题看成概率的累加（减），应计算这种动物从20岁活到25岁的数量与活到20岁的数量的比．

设出生时动物数量为a，则活到20岁的数量约为0.8a，活到25岁的数量约为0.5a，所以现年20岁的这种动物活到25岁的概率是=．

图象获取信息错误

为了了解高中学生的体能情况，抽取了100名学生进行引体向上次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图1）.图中从左到右依次为第1、2、3、4、5组.

（1）第1组的频率为_______，频数为______.

（2）若次数在5次（含5次）以上为达标，则达标率为_______%.

（3）这100个数据的众数一定落在第3组吗？

（1）0.05，5；（2）32.5；（3）对，一定落在第3组.

（1）（2）两问中产生错误的原因是：以为此直方图中各长方形的高就是相应小组的频率，事实上它们表示的是各小组对应的“频率/组距”.各小组的频率应该等于图中各个小长方形的面积.所以第1组的频率为：0.05×2=0.1；频数为：0.1×100=10；达标率=（0.175+0.125+0.025）×2=65%.

概率统计篇6

教师要充分应用现代教育技术，结合教学内容创设真实教学情境。这样能够激起学生的联想思维，让学生产生学习兴趣，自主探索新的知识。例如，“互斥事件”概念的引入。互斥单从字面上理解就是相互排斥的意思，就像你上学时要么步行，要么乘公交车，这两个事件不可能同时发生；还有你投一篮球，要么投进，要么不进，‘进与不进’这两个事件不可能同时发生。像这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，同样我们可以得出n个事件彼此互斥：一般地，如果事件A1，A2，…，An中的任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，…，An彼此互斥。

二、提出问题

教师要指导学生利用课题质疑法、因果质疑法、联想质疑法、方法质疑法、比较质疑法、批判质疑法等，提出问题，让学生从以往被动接受知识，转变为主动探索知识。比如，某班级有60人，16岁的10人，17岁的40人，18岁的10人。现在选出一人参加某项活动，设事件A：选出的一人年龄为16岁，事件B：选出的一人年龄为17岁，事件C：选出的一人年龄为18岁。

三、探索协作

学生通过教师的指导，将自主探索未知和分析问题，教师适时给予提示，让学生结合概念，深入了解题意，找到相应概率模型解决问题。

在学生完成自主探索以后，教师要让学生以小组为单位开展协作学习，在各种观点的交锋、补充和修正过程中，学生对问题的理解能够得到加深。学生相互合作与沟通下，可以找到解决问题的多种途径，对知识形成新的洞察。教师指导学生协作学习期间，应将学生的自主学习放在首位，并以此为基础指导学生协作学习。学生在自主探索与讨论协作以后，能够得到多个解决问题的方法，教师应做好引导，进一步调动学生求知欲望，在实践测试中解决问题。

四、实践测试

教师应让每个小组派出代表上台发言，待演示完毕后，由其他学生提出不同意见，若是存在困难教师应给予适当提示，在所有小组发言后，教师应给出最终结果。

此时学生能够明白自己方案的问题，并说出自己的看法，教师应耐心解答学生的疑惑。这样一来学生学习是快乐的，不会感到枯燥乏味，并牢固掌握知识。以上步骤为探究式教学的一般过程，同时鼓励学生动手实验，不应教给学生如下观念：即要想保证解答的正确性，就必须使用理论的方法。概率是对事件可能性的预测，能够通过理论与实验确定。要加大对计算器的应用，通过计算机开展模拟活动，以此对数据进行处理，正确理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性。