概率论的基本原理篇1

概率论与数理统计是高等学校理工科各专业的一门重要的基础理论课，是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。由于随机现象的普遍性、研究方法的独特性和教学内容的实用性,这门处理随机现象的数量关系与数量规律性的课程越来越受到重视。作为一名高校教师，如何引导学生学好这门课程，提高课程教学质量就显得非常重要了，众多同行结合自己的教学实践经验进行了有益的探讨[1-9]。作者根据自己多年的教学实践经验，谈谈自己对该课程的一些内容的理解及教学体会。

2.教学体会

2.1古典概率

古典概率以等可能性为基础，其内容涉及该课程的许多基本概念。而对概念的理解掌握程度直接关系到整个课程的教学质量。因此，在这一部分一定要注意概念之间的辨析。通过对概念的剖析及对比，使学生对概念有准确深入的理解。如随机事件的互不相容和相互独立，关于二者的辨析参见文献[1]。再比如古典概率计算中样本空间的构造与选取，众所周知，样本空间的构造与选取在古典概率计算中是非常重要的。但对初学者来说，构造样本空间是并非易事，就是学生经常说的“不会设事件”，其实就是搞不清随机试验的样本空间。设随机试验为“把一枚均匀硬币连续抛3次”，若试验目的是观察硬币出现正反面的情况，则样本空间为Ω={HHH,HTH,HHT,HTT,THH,THT,TTH,TTT}，这里H，T分别表示出现正面、反面。如果试验目的观察出现正面的次数，则样本空间为Ω={0,1,2,3}。可见，对同一个试验，由于试验目的不同，则样本空间也不同。这说明样本空间不仅依赖于试验本身，也依赖试验目的。除此之外，在古典概率的计算中，学生经常搞不清楚应该用排列数还是用组合数来计算样本空间中的样本点数。文献[2，3]对此进行了深入讨论。在古典概率的教学中，要注意指出在科学面前，我们的直觉有时是靠不住的。比如抛一枚均匀硬币，连抛5次均出现正面，问学生第6次出现正面和反面哪个的可能性更大？很多学生会认为出现反面的可能性会大一些，但事实上是一样的。这是因为各次抛硬币是相互独立的，前面5次的结果不影响第6次的结果。

2.2随机变量

现行教材一般把随机变量分为离散型和连续型。分布函数是刻画随机变量分布规律的一个重要工具。而对离散性随机变量，由于其取值为有限或可列个，所以要知道它的分布规律，只要知道其所有可能的取值及取每一个值的概率（也就是离散性随机变量的分布律）即可。但对于连续性随机变量，由于其取值无法逐个罗列出来，也就不能用分布律来刻画其分布规律，但我们可以用概率密度函数来刻画其分布规律。分布函数与分布律和概率密度函数之间的关系为F(x)=xi≤xΣpi，或F(x)=x-∞乙f(x)dx。显然，离散型随机变量的分布函数等于满足条件的概率求和，而连续型随机变量的分布函数等于概率密度函数在(-∞,x)上的积分。因为定积分的本质就是一类和的极限，因此离散的是求和，对应到连续的自然就是积分。有了这样的观点，学生在以后的学习过程中，理解掌握了离散型随机变量的相关概念(比如期望和方差)之后，就能更深刻地理解连续型随机变量对应的相关概念。对于连续性随机变量取任何指定实数值的概率均为0这一点，尽管我们可以通过连续型随机变量分布函数的连续性给出严格的推导，但学生在理解上还是存在困难。以均匀分布为例，学生经常会问，既然随机变量一定会在落在[a,b]内，即P{a≤X≤b}=1，但对坌c∈[a,b]，又有P{X=c}=0，这岂不是矛盾！当然，要真正解释清楚这一点，需要测度论有关知识，而工科学生是不具备这一点的。对于学生的这一疑惑，作者给学生是这样解释的。首先问学生，实数轴上一个点的长度是多少，学生会回答，点没有长度。告诉学生，这就是所谓的公理，就是一些大家公认正确的不加证明而承认的命题，任何一门数学学科总是建立在一定的公理体系的基础之上。正是由于点是没有长度的这一公理假设，导致这一看似矛盾但却合情合理的结果。解释清楚这一点之后，进一步强调对均匀分布均匀性的理解，不是随机变量落在[a,b]内每个点处的可能性相同，而是落在[a,b]内任何位置的长度相等的小区间内的概率相同。

2.3小概率事件及实际推断原理

首先是对小概率事件的界定，究竟一个事件的概率小到什么程度就可以认为是小概率事件？通常概率小于0.05的事件就认为是小概率事件。但一定要让学生明白，关于这一点没有绝对的标准，应该根据问题的实际背景确定。本课程多处用到实际推断原理，需要注意的是实际推断原理在不同地方有不同的理解。在概率论部分通常表现为“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”。当然同时要告诉学生，在多次重复试验中，小概率事件是不可忽视的。因为随着试验次数的增加，小概率事件至少发生一次的概率在增加。事实上，若设事件A在一次试验中发生的概率为p，p>0，那么在n次独立重复试验中，A至少发生一次的概率为1-(1-p)n。显然，无论p多么小，只要p>0，则有limn∞(1-(1-p)n)=1。而在极大似然估计中，实际推断原理表现为“在一次试验中就已经发生的事件应该是概率最大的事件”，所以在进行参数估计时，就以支持这一原理的参数值作为参数的估计值，也就是使似然函数（即样本的联合分布律或联合概率密度函数）取得最大值的参数值作为参数的估计值。

2.4概率论与数理统计的关系

概率论与数理统计虽然都研究随机现象，但侧重点不同：在概率论部分，我们总假设基本事件的概率是已知的，然后由此计算一些更为复杂的事件的概率。而数理统计是根据抽样的结果，对总体的性质进行推断（如参数估计、假设检验）。应该说，数理统计更贴近实际，但同时应强调，数理统计以概率论为基础。以产品质检为例来说明，在概率论部分，我们总是假设知道了产品的次品率或产品总数和次品数，然而如果真的是这样的话，就不存在产品的质检问题了，实际中恰恰是因为我们不知道产品的次品率，通过对产品进行抽检（即抽样），根据抽检结果对整批产品的次品率进行估计或对关于产品次品率的某种假设进行检验，这正是数理统计所要解决的问题。

2.5假设检验

假设检验的基本思想是运用实际推断原理的带有概率性质的反证法。即针对原假设H0，选取一个合适的分布已知的统计量，在原假设为真的条件下，构造一个概率为α(通常取0.05，0.1，0.01等一些比较小的正实数)的小概率事件，如果抽样结果支持小概率事件发生，这就与“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”的实际推断原理矛盾，由于这一矛盾是在原假设为真的条件下得出的，所以根据反证法原理，我们有理由认为原假设不真，从而拒绝原假设。当然，如果抽样结果不支持小概率事件发生，我们没有理由拒绝原假设，就接受原假设。应该说，假设检验问题中的假设可以各种各样，但进行假设检验的基本思想却都是一样的。需要注意的是，假设检验中用到的反证法，不同于通常意义下的反证法，通常意义下的反证法最后得到的是形式逻辑里的绝对矛盾，而假设检验中只是因为小概率事件在一次试验中发生了，不符合实际推断原理。事实上，所谓小概率事件只是在一次试验中发生的可能性很小而已，但并不是不可能事件。换句话说，在原假设为真时，小概率事件还是有可能发生的。所以，这里的矛盾并不是一种绝对矛盾。从而根据这一矛盾做出拒绝原假设的结论就不一定正确，也就是说我们完全有可能在原假设为真时拒绝了原假设，到此，就自然引出了假设检验中的拒真错误（第一类错误）。同样的道理，在假设检验中我们也有可能犯采伪错误(第二类错误)。

概率论的基本原理篇2

关键词：水文统计；教学内容；教学体系

作者简介：宋松柏（1965-），男，陕西永寿人，西北农林科技大学水利与建筑工程学院，教授；康艳（1976-），女，黑龙江佳木斯人，西北农林科技大学水利与建筑工程学院，讲师。（陕西 杨凌 712100）

基金项目：本文系西北农林科技大学2011年度教学改革研究项目（项目编号：JY1102059、JY1102056）的研究成果。

中图分类号：G642.0     文献标识码：A     文章编号：1007-0079（2012）05-0054-02

“水文统计”是应用概率论与数理统计原理研究和揭示水文现象统计规律的一门学科，是水利、交通和电力工程规划设计的核心基础理论。20世纪50年代，我国著名水文学家刘光文教授在河海大学（原华东水利学院）创建了我国第一个水文系，亲自开设了我国第一门结合水文专业特点的“应用数学”，主要介绍水文学中基本的统计理论和方法[1]，1980年更名为“水文统计”。半个多世纪以来，随着我国水利、交通和电力发展战略的调整和发展，丛树铮、朱元、宋德敦、丁晶、郭生练、金光炎、吴正平、黄振平、张海伦、刘权授、梁忠民、华家鹏、谢平和陈元芳等学者先后在水文统计领域进行了大量的研究，取得了重要的研究进展，形成了今天“水文统计”课程的理论体系[2-16]。以“水文统计”课程为核心，出现了若干相关的分支课程，如“统计试验方法及应用”、“风险分析与决策”、“随机水文学”和“水文水资源随机分析”等，所有这些推动了我国“水文统计”教学和科学研究的发展[2-16]。20世纪90年代以来，国外在水文统计出现了一些新的理论与方法，这些方法不同程度地引进了许多院校“水文统计”的教学。但是，这些方法仍分散于一些外文文献和研究专著。根据现行“水文统计”课程教学内容和水利、交通和电力工程专业培养方案，鉴于大多数学校在“水文统计”课程开设之前已经讲授过概率论，因此，有必要压缩现行“水文统计”教材中的一些概率论篇幅，突出概率论在水文中的应用，增加一些实用的理论方法和水文统计新的理论与方法，补充和修改现行课程的教学内容。

一、国外“水文统计”课程教学内容

国外“水文统计”教学主要选用的教材有《StatisticalMethodsinHydrology》、美国地质调查局培训教材《StatisticalMethodsinWaterResources》和《StatisticalMethodsinHydrologyandMeteorology》等[17-19]。

《StatisticalMethodsinHydrology》经过第二版修订后，被广泛地用于教学中，是一本很好的教材。主要介绍概率和概率分布的基本概念，随机变量的特性，一些离散型概率分布及其应用，正态分布，连续分布，频率分析，置信区间和假设检验，线性回归分析，多元线性回归分析，相关分析，多变量分析，数据生成，水文时间序列分析，随机水文模型，不确定性、风险可靠性分析的概率方法和地统计分析等[17]。《StatisticalMethodsinWaterResources》主要介绍数据总结，数据的图形分析，不确定性描述，假设检验，总体的独立性分析，配对检验，几个独立总体比较，相关分析，线性回归分析，回归的交替分析法，多元线性回归分析，趋势分析，检测下限数据分析方法，离散关系，离散响应回归和图形展示等[18]。《StatisticalMethodsInHydrologyandMeteorology》强调随机变量间的关系，主要介绍概率计算的基本概念，随机事件的相互依赖性，随机变量的概率分布，随机现象的统计估计，统计假设检验和随机变量的相互依赖性等[19]。

上述教材的特点是突出了概率论与数理统计在水文中的应用，除此之外，在教学上，还讲授随机模型，地统计分析，风险分析理论，统计模拟，贝叶斯分析，不确定性分析，水文分布，极值理论与洪水、干旱评估，人工智能，区域分析等。区域分析主要有洪水指数法，频率分布的区域特性和区域洪水水位的描述等内容。

二、国内“水文统计”课程教学内容

自刘光文教授开设“应用数学”课程讲授水文学中的概率与统计理论方法后，金光炎先后编写了《水文统计的原理与方法》、《水文统计计算》和《实用水文统计法》等，结合应用实例，从实用的角度出发，介绍了概率论和数理统计的基本知识和水文频率计算的一般方法。丛树铮（1980）、王俊德（1992）分别编写了《水文学的概率统计基础》和《水文统计》，形成了“水文统计”课程内容体系。金光炎结合多年在水文频率计算的研究成果，先后于1993、2002、2003、2010年出版了《水文水资源随机分析》、《工程数据统计分析》、《水文水资源分析研究》和《水文水资源计算务实》研究专著，除介绍概率论与数理统计原理外，系统地总结作者在常用水文频率线性选择、参数估计和误差分析中的研究成果。2003年，黄振平出版了《水文统计》教材，经过河海大学教学团队的建设与改革，“水文统计”课程于2007年被评为部级精品课程，也被许多高校选用为《水文统计》课程教材[1]。主要介绍事件与概率，随机变量及其分布，多元随机变量及其分布，数字特征与特殊函数，极限定理，抽样分布，估计理论，假设检验，相关分析，回归分析，误差分析和随机过程等。陈元芳（2000）出版了《统计试验方法及应用》，主要介绍水文随机变量、随机向量和随机过程的生成方法。张济世（2006）《统计水文学》汇集了利用数学原理解决水文问题的热点研究方法，扩展了传统统计学在水文统计中的应用，系统地介绍了灰色理论、模糊数学、神经网络、时频分析、小波分析、混沌和分形等新技术新方法在水文统计分析的应用，内容丰富，是拓展学生知识面的学习参考书。秦毅（2006）《水文水资源应用数理统计》强调多元分析在水文中的应用。丛树铮（2010）《水科学技术中的概率统计方法》系统地介绍了概率统计方法和及其在水文统计方面的研究成果。程根伟（2010）《水文风险分析的理论与方法》系统地介绍了水文风险分析原理，并附有实例计算过程。

综上所述，国内《水文统计》教材突出了概率论与数理统计的基本原理及其应用，形成了以河海大学“水文统计”课程为代表的教学内容，讲授事件与概率、随机变量及其分布、多元随机变量及其分布、数字特征与特征函数、极限定理、抽样分布、水文频率计算、假设检验、回归分析和误差分析等。而有些研究专著虽然包含了目前水文统计一些新的理论和方法，是学生学习课程时很好的教学参考书，但是难度较大，不便于讲授使用。

三、“水文统计”课程新的教学内容

根据水利、交通和电力行业的特点，结合国外水文统计教学与理论方法的最新发展，“水文统计”课程按以下原则设置教学内容：突出概率论与数理统计原理在水文中的应用；强调工程规划设计中的实用计算方法；吸收和反映国内外成熟的新理论与方法；内容力求系统、全面。根据上述原则，“水文统计”课程教学内容设置如下：

第1章：绪论。主要包括水文统计方法、应用与发展。第2章：水文事件概率与重现期计算。主要包括水文事件概率与条件概率计算；洪水与干旱特征变量提取；次重现期与年重现期。第3章：水文概率分布。主要包括正态分布类；指数分布类；Wakeby分布类；Pareto分布类；Logistic分布类和截取分布等。第4章：几种偏态分布的特性。主要包括偏态Normal、t、Laplace、Logistic分布、Uniform、ExponentialPower、Bessel函数、PearsonTypeII、PearsonTypeⅦ、Generalt分布等。第5章：常用的多维水文概率分布特性。主要包括二维gamma分布；Gumbel混合分布；Gumbellogistic分布；Nagao-Kadoya二维指数分布；多维正态、t分布和对数正态分布。第6章：抽样分布。主要包括简单随机抽样；样本分布；抽样分布；几种统计量的分布；顺序统计量及其分布。第7章：估计理论。主要包括点估计；区间估计；估计量好坏的评选标准。第8章：假设检验。主要包括常用的参数检验和非参数假设检验。第9章：多元统计分析。主要包括一元线性与多元线性回归；非线性回归；逐步回归；线性递推回归；判别分析；聚类分析；主成分分析；对应分析；因子分析；典型相关分析。第10章：随机模型。主要包括随机过程的基本概念；自回归模型；滑动平均模型；自回归滑动平均模型；水文序列组成与模拟；非平稳随机模型及其应用；多变量随机模型及其应用。第11章：单变量水文序列频率计算。主要包括资料“三审”；水文序列频率分布的参数估计方法（矩法，极大似然法，概率权重矩法，线性矩法，最大熵原理法，交互熵法，贝叶斯法、Box-Cox变换法，E-M算法，适线法，优化算法，核密度估计法；部分熵，部分交互熵，部分概率权重矩，部分线性矩法，LH矩法和LL矩法）；水文序列频率最优线型评定与拟合度检验；单变量序列的经验频率计算。第12章：特殊水文序列频率计算。主要包括含零值水文序列频率计算；加入特大值后洪水序列频率计算；非一致性水文序列频率计算；截取水文序列频率计算（包含超定量洪水频率计算）；梯级水库（电站）下游水文频率计算；区域洪水频率计算。第13章：多变量水文序列频率计算。主要包括copula函数的定义与特性；对称、非对称和Archimedeancopulas；Meta-ellipticalcopulas；Plackettecopula；Pair-copulas；混合copulas；经验copulas；变量相依性度量；copula函数参数估算和最优copulas函数评定；copulas模拟与拟合度检验；多变量序列经验频率计算；基于copula函数多变量联合概率分布计算。第14章：正交试验。主要包括正交试验方法；水平数不同的全因素试验；正交表的使用。第15章：风险分析。主要包括水文风险分析原理；减小风险的主要途径；水文风险分析举例。第16章：地统计分析。主要包括区域化变量；协方差函数；变异函数；克里格插值；应用实例。

四、结论

根据水利、交通和电力工程专业培养方案，回顾了我国“水文统计”课程教学体系的发展，分析了“水文统计”课程国内外代表性的教材、专著和教学内容，提出了相应的新的教学内容。与现有课程教学内容相比，压缩了概率论原理篇幅，增加了各类水文频率分布、水文频率计算新理论与方法、工程中几种特殊序列的频率计算、正交试验、风险分析、地统计分析等，其目的是增强学生毕业后从事水文分析与水利计算的工作能力，以期完善我国水利、交通和电力高等院校“水文统计”课程的教学体系。

参考文献：

[1]丛树铮.水文学的概率统计基础[M].北京:水利水电出版社,1980.

[2]王俊德.水文统计[M].北京:水利电力出版社,1992.

[3]黄振平.水文统计学[M].南京:河海大学出版社,2003.

[4]丛树铮.水科学技术中的概率统计方法[M].北京:科学出版社,2010.

[5]陈元芳.统计试验方法及应用[M].哈尔滨:黑龙江人民出版社,2000.

[6]秦毅,张德生.水文水资源应用数理统计[M].西安:陕西科学技术出版社,2006.

[7]金光炎.水文统计的原理与方法[M].北京:水利电力出版社,1958.

[8]金光炎.实用水文统计法[M].北京:水利电力出版社,1958.

[9]金光炎.水文统计计算[M].北京:水利电力出版社,1980.

[10]金光炎.水文水资源随机分析[M].北京:中国科学技术出版社,

1993.

[11]金光炎.工程数据统计分析[M].南京:东南大学出版社,2002.

[12]金光炎.水文水资源分析研究[M].南京:东南大学出版社,2003.

[13]金光炎.水文水资源计算务实[M].南京:东南大学出版社,2010.

[14]张济世,刘立昱,程中山,等.统计水文学[M].郑州:黄河水利出版社,2006.

[15]程根伟,黄振平.水文风险分析的理论与方法[M].北京:科学出版社,2010.

[16]CharlesThomasHaan.StatisticalMethodsinHydrology(2ndedition)[M].Iowa:IowaStatePress,2002.

[17]HelselD.R.,HirschR.M.StatisticalMethodsinWaterResources[R].TechniquesofWater-ResourcesInvestigationsoftheUnitedStatesGeologicalSurvey,Book4HydrologicAnalysisandInterpretation,ChapterA3,2002.water.usgs.gov/pubs/twri/twri4a3/.

概率论的基本原理篇3

关键词：概率归纳；逻辑；概率论

概率归纳逻辑旨在以数学的概率论和现代演绎逻辑为工具构造归纳逻辑的形式演绎系统，是现代归纳逻辑的主要发展方向。

一、概率归纳逻辑的开创

18世纪40年代，休谟指出归纳推理不具有逻辑必然性，认为它只把真前提同可能的结论相联系,是主观的、心理的，不曾想到当时概率论所揭示的或然性的客观意义及其对归纳的可能应用。穆勒在《逻辑体系》中以很大篇幅讨论了偶然性问题,认为概率论只同经验定律的建立有关，而与作为因果律的科学定律的建立无关。惠威尔也对偶然性作过讨论，但与穆勒一样，并未想到把概率论应用于归纳。直到1859年，德国化学家本生（R.W.Bunsen）和基尔霍夫（G.R.Kirchoff）用统计方法分析太阳光谱的元素组成等科学活动，进一步引起科学方法论家对统计推理问题的注意。许多科学方法论家认为科学结论不是确定的，而是或然的，开始尝试把归纳还原为概率论。

最早将归纳同概率相结合的是德摩根和耶方斯。德摩根将一般除法定理和贝叶斯定理应用于科学假说。但是布尔（Boole）抓住了它的缺点，即运用贝叶斯推理给科学假说的概率带来更大的任意性，至此否定了概率归纳逻辑的方向。在70年代耶方斯作出重大开创性工作之前，这方面的工作基本趋于沉寂。耶方斯发展了布尔代数，他一方面有着关于归纳本质的方法论考虑，另一方面，他将数学应用于发展演绎逻辑的同时，也将数学应用于发展归纳逻辑。他在《科学原理》中说明：“如果不把归纳方法建立于概率论，那么，要恰当地阐释它们便是不可能的。”[1]耶方斯认为一切归纳推理都是概率的。

耶方斯的工作实现了古典归纳逻辑向现代归纳逻辑的过渡。

二、现代概率归纳逻辑

现代概率归纳逻辑始于20世纪20年代，逻辑学家凯恩斯、尼科（Nicod）及卡尔纳普和莱欣巴赫（Reichenbach）等人，采用不同的确定基本概率的原则及对概率的不同解释，形成不同的概率归纳逻辑学派。

凯恩斯将概率与逻辑相结合，认为归纳有效度和合理性的本质是一个逻辑问题，而不是经验的或形而上学的问题。他提出了“概率关系”的概念：假设任一命题集合组成前提h，任一命题集合组成结论a，若由知识h证实a的合理逻辑信度为α，我们称a和h间的“概率关系”的量度为α，记作a/h=α。并着眼于构造两个命题间的逻辑关系的合理体系，但未取得成功。而且他认为，大多数概率关系不可测，许多概率关系不可比较。但他在推进归纳逻辑与概率理论的结合上，作出了历史性的贡献，是现代归纳逻辑的一位“开路先锋”。

逻辑主义的概率归纳逻辑的代表卡尔纳普，在20世纪50年代提出概率逻辑系统，这一体系宣告了归纳逻辑的演绎化、形式化和定量化，将概率归纳逻辑推向了“顶峰”。卡尔纳普认为休谟说的归纳困难并不存在，归纳也是逻辑，并且也有像演绎一样的严格规则。施坦格缪勒（Stegmuller）指出：“2500年前，亚里士多德开始把正确的演绎推理的规则昭示世人，同样，卡尔纳普现在以精确表述归纳推理的规则为己任。”[2]演绎的逻辑基础在于它的分析性，所以，从维特根斯坦和魏斯曼（Waismann）就开始致力于把它改造为逻辑的概率概念，以使概率归纳成为分析性的。卡尔纳普完成了这一发展。他说：“我的思想的信条之一是，逻辑的概率概念是一切归纳推理的基础……因此，我称逻辑概率理论为‘归纳逻辑’。”[3]他并把此概念直接发展为科学的推理工具：“我相信，逻辑概率概念应当为经验科学方法论的基本概念，即一个假说为一给定证据所确证的概念提供一个精确的定量刻画。因此，我选用‘确证度’这个术语作为逻辑概率刻画的专门术语。”[3]与凯恩斯一样，卡尔纳普把概率1解释作句子e和h间的逻辑关系，表达式是c(h,e)=r，读作“证据e对假说h的逻辑确证度是r”。这样，归纳便是分析性的了，演绎推理是完全蕴涵，归纳推理是部分蕴涵，即归纳是演绎的一种特例。此外，卡尔纳普所想要的归纳逻辑还是定量的，他希望最终找到足够多的明确而可行的规则，使C(e,h)的计算成为只是一种机械的操作，以将他与凯恩斯严格区分开来。

20世纪30年代，莱欣巴赫建立了他的概率逻辑体系，被称为经验主义的概率归纳逻辑。他用频率说把概率定义为，重复事件在长趋势中发生的相对频率的极限。这种方法简单实用，但却带来两方面的困难。首先，上述极限定义是对于无数次重复事件的概率而言的。那如何找出一种测定假说真假的相对频率的方法呢？其次，对单一事件或单一假说怎么处理呢？所以频率说只适用于经验事件的概率，其合理性的辩护非常困难。它所面临的最大困难就是找不到由频率极限过渡到单个事件概率的适当途径。为此，莱欣巴赫建议把“概率”概念推广到虚拟的、平均化的“单个”事件，引进了单个事件的“权重（Weight）”概念，试图把理想化的单个事件的概率或“权重”事先约定与对应的同质事件的无限序列的极限频率视作同一。但这与他的初衷相背，频率论者不得不由原先主张的客观概率转向主观概率了。

对概率的前两种解释都着眼于概率的客观量度，然而对随机事件的概率预测离不开主观的信念与期望。主观主义概率归纳逻辑发端于20世纪30年代，创始人是拉姆齐（F.P.Ramsey）和菲尼蒂（DeFinetti）。它将概率解释为“合理相信程度”或“主体x对事件A的发生，或假说被证实的相信程度。”表明，如果按贝叶斯公理不断修正验前概率，那么无论验前概率怎样，验后概率将趋于一致；这样，验前概率的主观性和任意性就无关紧要了，因为它们终将淹没在验后概率的客观性和确定性之中。一个人对被检验假设的验前概率是由他当时的背景知识决定的。

主观概率充分注意到推理的个人意见及心理对于概率评价的相关性，意义重大。但是，人们在做出置信函项时，除了“一贯性”的较弱限制外，很难在多种合理置信函项间作出比较和选择。

三、概率归纳逻辑兴起的原因

概率归纳逻辑是伴随现代科学、现代演绎逻辑、归纳逻辑本身的发展而兴起的。

概率归纳逻辑兴起的原因大致有：（1）现代科学的发展。对微观粒子的运动只能采用概率的方法，因此，西方科学界出现了否定因果决定论而接受概率论的观念。（2）较完备的概率理论。特别是20世纪以来，它具备了严格的数学基础，而且被广泛应用于各种领域。（3）归纳逻辑本身要求进一步完善和精确化。人们要求对单称事件陈述对全称理论陈述的归纳支持作出量的精确刻画。逻辑的数学化，数学的逻辑化，穆勒已经注意到归纳与概率的关系，耶方斯等将归纳与概率结合。（4）以数理逻辑为主干的现代演绎逻辑逐渐成熟，从而使得一些逻辑学家热衷于将现代演绎的形式化、公理系统方法与概率论方法协调起来，以运用于归纳逻辑的研究。（5）对归纳法的合理性问题的探索。休谟的归纳问题一直是个哲学难题。现代归纳逻辑的种种体系，几乎都可以看成是对这个问题不断作出回答。上述三种概率归纳逻辑体系也无例外，都是为求得归纳推理的合理性，或对归纳论证进行改进，或把结论改成概率的陈述，使归纳逻辑被构造成演绎逻辑的一个分支，或用实用主义策略使归纳即使不是有效的，至少也有存在的理由。所以说概率逻辑是以现代演绎逻辑和概率论为工具，形式化、定量化的归纳逻辑。

20世纪50年代以后，科学技术步入一个新的阶段，概率论与数理统计、数理逻辑等相关学科取得新的发展，特别是计算机科学技术以及多学科交叉发展的趋势，使现代归纳逻辑的研究进入到一个新阶段，出现了一些新的趋势和特点。

第一，面临归纳演绎化的困难，出现了非概率化、非数量化的趋势，有的用有序化、等级化来代替，有的将定性的研究重新放到重要的位置上，有的又再度重视如模态、因果概念的结合使用等等。

第二，将主观因素与客观因素相结合，将纯逻辑研究与其他学科相结合。这就不能只限于语构层次，而要考虑语义、语用层次，就要涉及心理学、社会学等方面的研究。而且不能脱离所涉及的具体过程（实验）与学科。超级秘书网

第三，对归纳逻辑的研究与整个思维科学、信息科学的研究联系起来。归纳是一类复杂性问题，决不是单靠纯逻辑所能解决的。归纳远比演绎复杂，须与多学科结合起来进行系统研究。

第四，归纳逻辑的研究与当前的科技相互影响、相互作用。申农提出的信息论仅是相当于语形的统计信息模型。而信息的语义层次的研究都出自卡尔纳普之手，再经辛迪卡（Hintikka）等人的论作又已形成信息逻辑这一分支。这揭示了逻辑与信息科学的联系。再如，随着计算机科学、人工智能的研究进展，对归纳的研究日益受到重视。若能将人工智能与归纳结合起来，必将带来新的进展与突破[4]。

概率归纳逻辑是归纳逻辑的一个发展阶段，它大大发展了归纳逻辑，也昭示了归纳逻辑的发展机制，为我们出示了现代归纳逻辑发展的方向。

参考文献:

[1]W.S.Jevous.ThePrinciplesofScience[M].London:DoverPress,1877.197.

[2]Hintikka,J.(ed.).RudolfCarnap,LogicalEmpiricist[M].D.ReidelPub.Co.,1995.LIX.

概率论的基本原理篇4

关键词:医学统计学;概率论;本科生;教学改革

一、课程背景

医学统计学是一门以概率论与数理统计为基础，为解决医学实际问题而对医学数据资料的收集、整理、分析、推断进行研究的一门学科［1］。该门课程的特点在于应用概率论等数学知识与医学实际科学问题结合。其主要目标是在随机偶然事件中找出其中潜在的必然性，即随机事件的客观规律性。例如，判断某种新疗法是否对疾病具有显著疗效;不同年龄的病人对某种药物的反应是否一致等问题。医学统计学在20世纪20年代后逐渐成为一门学科，近几十年由于电子计算机的飞速发展，极大地促进了医学统计学在医学研究领域中的应用。目前医学统计学在医学研究与数据分析领域得到极广的应用。可以说，没有医学统计，就没有医学科学研究。统计在医学研究领域已经成为一种基础技能，因此目前国内高校大多数医学相关专业都开设了医学统计学课程。对于学生来说，掌握医学统计这项重要技能对于今后的工作或者继续深造都至关重要。所有统计都是基于概率论基础的，统计推断的基本思想是基于小概率事件在单次试验中不可能发生的原则。采用类似反证法的思想，首先假定0假设，然后基于概率论计算事件的发生概率，如果该事件是小概率事件，则认为对应显著性水平上0假设不成立。该过程设计较多的概率论知识，而医学相关专业学生缺乏概率论学习的系统性，难以理解统计学基础原理部分。根据学生学习情况反馈，医学统计学在医学类相关专业学生中属于学习较为困难的科目［2］。因此，相对于统计学与数理统计等专业课程，医学统计学更多地侧重于统计方法的介绍，着重了解各种现有统计方法，如T检验、F检验，相关分析等的适用范围与具体操作。

二、教学问题分析

那么概率论等数学基础的缺失对于学生学习医学统计学是否会造成影响呢?为解决这个问题，我们设计了一项教学试验进行验证，试验流程如右图所示。试验对象为贵州大学医学院护理学专业大二学生，共49人。在第一次教学课程时发放概率论试卷，对学生当前概率论知识水平进行简单测试，为保证试验的双盲，对试卷进行封存处理。在所有教学课程完毕，期末成绩出来之后对概率论试卷进行批改。然后统计学生的概率论知识水平，这里采用偏相关分析概率论分数与医学统计学分数是否存在显著相关，其余非数学类课程平均成绩作为协变量放入用于排除学生个体因素，例如学习努力程度等的干扰。统计分析后发现医学院护理学学生医学统计学分数与概率论分数呈显著正相关(p＜0．05)。值得注意的是，医学统计学试卷分为理论部分与上机操作部分，学生概率论分数与上机操作部分总分也呈显著正相关(p＜0．05)。这部分试验结果显示学生本身的概率论基础知识水平会极大地影响后续医学统计学课程的学习效果，值得注意的是概率论基础知识水平不仅影响了医学统计学理论课程的学习，在看似不相关的上机实践操作中也产生了显著影响。这可能与学生理论学习过程中由于基础知识不足而对本门课的学习信心产生了影响有关。

三、教学改革方案

基于目前医学统计学教学存在的问题，现提出以下三个方面的教学改革措施:教学内容、教学模式、考核方式。

(一)教学内容1．增强基础数学内容教学从本门课的教学数据分析上可以看出，概率论等基础数学知识水平对医学统计学的学习具有显著影响。但是医学相关专业的课程安排有其特殊性，课程较多。在此基础上增加概率论等数学基础课程会进一步加重学生学习负担，导致整体学习效果的下降。因此，本论文提出在医学统计学教学过程中应进一步加强数学基础内容的教学，如古典概率、概率密度函数、大数定律、中心极限定律等内容，在相关课程开始之前安排对于基础数学内容的教学。2．理论教学深入浅出，增强学生学习信心从教学数据的分析中，我们同时发现医学统计学实践操作部分的学习效果也与学生数学基础水平相关。而实践操作部分教学内容实际是不需要数学基础知识的。这提示学生数学基础水平的欠缺可能导致了对医学统计学理论知识学习的畏难情绪，从而对整门课程学习的信心不足，导致对全部课程学习效果的降低。因此，本文提出在医学统计学教学过程中对理论教学内容的进一步淡化，但该部分的淡化并不意味着对理论推导过程的不重视，而是对理论知识的深入浅出，尽可能地用通俗易懂的实例来进行教学，而不是大段的公式推导，例如，统计推断的过程可以采用和数学定理推导中的反证法进行类比的方式，如下表所示，而不强调统计推断的数学推导过程。让学生简单理解其思想即可，不强求学生完全理解其背后的数学原理。

概率论的基本原理篇5

关键词：数学建模；大学数学；基础理论教学；能力培养

作者简介：于林（1965-），男，山东滨州人，三峡大学理学院，教授。（湖北宜昌443002）

基金项目：本文系三峡大学教学研究项目（项目编号：J2010057）的研究成果。

中图分类号：G642.1文献标识码：A文章编号：1007-0079（2013）32-0124-02

大学生数学建模竞赛和数学建模活动在对大学生创新能力培养和数学技术应用能力培养中的重要作用已经是一个不争的事实，而在大学数学课程教学中融入数学建模思想的理念也被广大的数学教师所公认，并且取得了许多宝贵的实践经验。但是，在众多关于此问题的教学研究文献中，基本上都是仅仅就高等数学课程中那些本身就具有很强的应用性的数学方法和数学技术介绍了其在数学建模中的一些应用实例，而难得见到有关如何将原始的数学概念和抽象的数学定理的教学与数学建模相互联系的研究和分析。本文旨在通过对概率统计中两个最原始的概念（概率空间与统计结构）和高等数学中一个最抽象的定理（Weierstrass定理）的教学中如何融入数学建模思想的分析，揭示了在大学数学核心课程的教学中，数学建模与深化学生对基本概念的理解以及加强对抽象数学理论的实际应用能力的培养之间的关系。目的在于进一步探讨如何借助数学建模来激发学生对数学课程的学习兴趣，深化学生对抽象理论的理解。

一、最原始的概念，最基本的模型

众所周知，概率论和数理统计理论中有两个最原始的基本概念，一个是概率空间，另一个是统计结构（或者统计模型）。通常在“概率论与数理统计”课程教学中一般总是这样进行的，在给定了概率空间（Ω、F、P）之后，研究定义在其上的随机变量及其分布等性质；在给定了统计结构（或者统计模型）之后，研究其上的样本、抽样分布及其由此而建立起来的统计推断问题。例如，一般的课本上几乎都是主要介绍建立在“正态分布总体”这样一种统计结构上的统计推断理论的。但是，只要稍微仔细思考一下，就会发现一个被忽略的问题：这种作为研究起点的所谓“概率空间”和“统计结构”是怎么来的？这一问题一般情况下被教师和学生所忽略，因为同学们只需要会做课后的习题就够了，而在每一个习题里这些所谓的“起点”早就被题目的设计者给设计好了。于是，时间久了，同学们也就习惯了，很容易由此而造成一种假象，似乎这些作为“起点”的东西是天生的，或者是自然就有的，很容易对这一课程中最基本的两个概念缺乏必要的理解。

然而，如果将这一问题与数学建模结合起来则情况就大不一样了。对于数学建模，任务不再是求解那种被人设计好的习题，而是面对的各类实际问题。运用概率分析的方法或者统计分析的方法对这些实际问题进行研究，但是概率分析理论、统计分析理论都不能直接作用于任何实际问题，这就需要首先确定这一实际问题所对应的“概率空间”或者“统计结构”是什么。事实上，“概率空间”就是架设在实际问题和概率分析理论之间的一座桥梁，而“统计结构”即是贯通在实际问题和统计分析理论之间的一条隧道。随机数学建模或者统计分析建模从对“概率空间”和“统计结构”的建立就已经开始了。

1.概率空间

（1）随机现象与随机试验。数学建模的研究对象都是一些实际的问题，如果这一实际问题表现为具有某种随机性的时候则被认为是一种随机现象，因此准备运用概率分析的方法进行研究。但是，概率理论直接的研究对象并不是随机现象，而是为研究随机现象所作的随机试验（RandomExperiment）。为简单计，今后凡是在概率论中的随机试验皆简称为试验，并记之以英文字母E。对于数学建模者需要指出的是：对于同一随机现象，根据研究者的研究目的和研究方法的不同可以设计不同的随机试验。

例如，某同学打篮球投篮，这当然是一个随机现象，因为他可能投中也可能投不中，也就是说他每次投篮是否能投中具有随机性。假设现在要考察该同学投篮的命中率，可以设计如下两种不同的随机试验。试验E1是让该同学先后投篮10次，看他其中能投中几次；试验E2是请该同学连续投篮直到投中为止，看该同学共需要投几次才能投中。由于所设计的随机试验不同，因而所产生概率空间就不同，以后所运用的概率分析方法也就不一样。

（2）样本空间。当确定了随机试验E之后，称试验E的每一个可能结果为样本点（SamplePoint），并称由全体样本点的集合为试验E的样本空间（SampleSpace），并分别用希腊字母ω和Ω表示样本点和样本空间。

例如，对于上述的两个试验，试验E1的样本空间可以表示为，其中表示该同学在该次试验中共投中k个球；试验E2的样本空间可以表示为，其中表示该同学在该次试验中总共的投篮次数。注意，是一个有限样本空间，而则是一个无限样本空间。

（3）几何概率模型的实例。几何概率在现代概率概念的发展中起到了非常重大的作用。在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答，然而JosephBertrand在1888年提出的一个问题改变了人们的想法，这就是贝特朗奇论（Bertrand’sparadox）。

Bertrand奇论：在一半径为1的园内“任意”作一弦，试求此弦长度l大于园内接正三角形的边长的概率P。

解法1：由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3。

解法2：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的，则所求概率为1/2。

解法3：弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4。

于是得到了三个不同的答案，原因是什么呢？这是因为三种解法中使用了三个不同的随机试验，从而得到三种不同的概率空间。解法1的样本空间Ω1是全圆周；解法2的样本空间Ω2是直径上点的全体；解法3的样本空间Ω3是二维区域C。这一例子说明，对于同一个问题，由于构造了不同的概率空间而可以得到不同的结论。相对于各自的概率空间，每一种解法都是正确的，而概率空间即是最基本的数学模型。

2.统计结构

（1）对统计总体的认识。正如“概率空间”是概率研究的起点一样，“统计结构”（或称统计模型）则是统计分析的起点。数理统计学就是这样一门学科：它使用概率论和数学的方法，研究怎样收集（通过试验或者观察）带有随机误差的数据，并在设定的统计结构（或称统计模型）之下，对这种数据进行分析（称为统计分析），以对所研究的问题做出推断（称为统计推断）。

面对应用中遇到的实际问题，统计结构是如何得来的呢？首先，来看一下如何认识统计的总体。所谓统计总体是指具有某种分布的随机变量（或随机向量）。所以，通常总体记为随机变量ξ，它服从某分布（族）P。

（2）统计结构（统计模型）。统计总体的随机变量量ξ及其服从的分布P统称为统计结构（或统计总体），P代表的实际上是一族分布函数。如果已经知道P的分布类型，即已知分布函数的类型，只是对其中的某个或者某几个参数θ未知，则问题就归结为根据样本值推断参数θ究竟取何值为好。此类统计模型就是参数模型，涉及的统计问题就是参数统计问题。如果连分布函数的类型也知道得很少，以至于不能给出参数模型，那么问题就成为非参数统计问题。

以对某物理量的测量问题为例：假设有某物理量μ，采取多次测量的方式以求得到该物理量真实值μ的估计。如何建立统计模型呢？

模型一：设总体随机变量，其中，所以

该研究者认为：测量仪器工作状态稳定，可以认为测量结果只存在随机误差。根据误差分析理论，此时有理由认为误差服从正态分布，由此总体随机变量。其中均值μ和方差都未知。所以该模型是一个含有两个未知参数的正态分布函数族。

现在再设想，假如该项测量工作是由一个非常专业的测量团队来完成的，因此事前可以假设测量的精确程度是已知的，即可以假设上述的方差已知，且取值为，于是又有如下模型。

模型二：设总体随机变量，其中，所以

当然，与建立模型二时相反，建模者可能十分悲观，或者事实上也是如此，这就是事前对该总体的信息收集实在太少。研究者只能肯定的是测量者既不会有意把数据夸大，也不会有意缩小，也就是测量所得的随机变量关于真实值应该是左右对称的，除此之外没有其它信息了。这样就只能设置模型如下：

模型三：设总体随机变量{对称分布}。

模型三得到的只是一个非参数统计模型，因此决定了首先必须运用非参数统计进行分析和研究，这较之前两种模型要复杂得多。

二、最抽象的定理，最直接的应用

1.Weierstrass定理

有界闭区间上连续函数的性质表现为一系列十分抽象的定理，Weierstrass定理是其中的一个。一方面，从理论上讲，它们在微积分理论体系中具有非常重要的地位；而另一方面，它们在形式上十分抽象。因此，一般情况下，学生们会认为其没有实用价值。其实正好相反，在数学建模中Weierstrass定理就经常被用到。该定理说：如果是上的一个连续复函数，那么便有多项式的序列，使得在上一致地成立。如果是实函数，则是实多项式。

2.在数学建模中的一个应用

土豆施肥效果分析：在土豆生长期间，施用不同量的氮（N）和钾（K）肥，土豆产量结果见附表1，求土豆产量与施肥量之间的关系。

首先，为了计算方便，对数据作中心标准化处理，即令：

，

如果说，施肥量x1、x2与土豆产量y有很密切的关系，则应该有，其中可能是线性函数，也可能是非线性函数，探求的具体形式是本题的目的，需要用回归分析方法。

（1）失败的线性回归模型。通常情况下，同学们首先想到的是线性模型：。根据最小二乘法计算得回归方程：。但是这个模型的效果究竟如何呢？计算多重判定系数得。显然，该线性模型对所给数据的拟合效果很差，由对数据的直观观察亦可以看出，用线性模型去拟合所给数据是不合适的。

（2）有效的多项式回归模型。显然，所求的函数关系肯定不是线性函数，而一定是一个非线性函数。然而，非线性函数有无数种，最有可能是哪一种呢？此时，Weierstrass定理帮了大忙。其实，无论是什么样的非线性函数，总可以用多项式去逼近。因此，可以考虑为多项式函数，且不妨从最低阶的二次多项式开始。

设模型为：，

同样根据最小二乘法计算得回归方程：。经计算多重判定系数为：。由此可知该模型拟合效果非常好，问题得到圆满解决。

三、结论

由上述实例分析可见，恰当地将数学建模融入大学数学课程教学，不仅有利于对学生数学应用能力的培养，而且更重要的是还可以帮助学生对抽象的基本概念和理论的理解。因此，对于更多的抽象概念和定理，如何引入适当的数学模型是一个非常值得进一步详细探讨的问题。

参考文献：

[1]李大潜.中国大学生数学建模竞赛[M].第四版.北京：高等教育出版社，2008.

概率论的基本原理篇6

星期日（10月18日）

上午（9:00--11:30）

下午（14:30--17:00）

上午（9:00--11:30）

下午（14:30--17:00）

一、专科（含基础科段）

020105金融03706思想道德修养与法律基础00009政治经济学（财经类）00075证券投资与管理00020高等数学（一）00065国民经济统计概论12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文00055企业会计学00066货币银行学00043经济法概论（财经类）020221工商企业管理03706思想道德修养与法律基础00009政治经济学（财经类）00147人力资源管理（一）00020高等数学（一）00148国际企业管理00065国民经济统计概论12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文00055企业会计学00043经济法概论（财经类）020223会计03706思想道德修养与法律基础00009政治经济学（财经类）00067财务管理学00020高等数学（一）00065国民经济统计概论12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文00070政府与事业单位会计00156成本会计00043经济法概论（财经类）020229旅游管理03706思想道德修养与法律基础00009政治经济学（财经类）00189旅游与饭店会计00191旅行社经营与管理06011旅游学概论

12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文00193饭店管理概论00015英语（二）00194旅游法规020228物流管理03706思想道德修养与法律基础00020高等数学（一）00148国际企业管理12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论00182公共关系学00012英语（一）020313销售管理03706思想道德修养与法律基础04183概率论与数理统计（经管类）00179谈判与推销技巧10510连锁与特许经营管理00892商务交流（二）00178市场调查与预测12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论00177消费心理学030112法律03706思想道德修养与法律基础00242民法学00261行政法学00223中国法制史12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文00243民事诉讼法学00244经济法概论030301行政管理03706思想道德修养与法律基础00147人力资源管理（一）00163管理心理学00341公文写作与处理03349政府经济管理概论12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文03350社会研究方法00182公共关系学00312政治学概论040103小学教育03706思想道德修养与法律基础00409美育基础00407小学教育心理学00410小学语文教学论12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文00408小学科学教育00411小学数学教学论00012英语（一）00395科学.技术.社会00412小学班主任040109心理健康教育03706思想道德修养与法律基础05619心理咨询与辅导（一）05616心理测量与评估12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文00466发展与教育心理学02110心理统计06050人际关系心理学050114汉语言文学03706思想道德修养与法律基础00529文学概论（一）00536古代汉语12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论00531中国当代文学作品选00534外国文学作品选00533中国古代文学作品选（二）050207英语语言文学03706思想道德修养与法律基础00596英语阅读（二）00795综合英语（二）12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文00597英语写作基础00794综合英语（一）050308新闻学03706思想道德修养与法律基础00655报纸编辑00654新闻采访写作12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文00853广告学（二）00656广播新闻与电视新闻080306机电一体化工程03706思想道德修养与法律基础02230机械制造00022高等数学（工专）02159工程力学（一）02195数控技术及应用12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文02236可编程控制器原理与应用00012英语（一）02232电工技术基础02237自动控制系统及应用080701计算机及应用03706思想道德修养与法律基础02142数据结构导论00022高等数学（工专）12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文04732微型计算机及接口技术00012英语（一）02120数据库及其应用080801房屋建筑工程03706思想道德修养与法律基础02400建筑施工（一）00022高等数学（工专）02387工程测量00170建筑工程定额与预算12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文02396混凝土及砌体结构02398土力学及地基基础082207计算机信息管理03706思想道德修养与法律基础04754电子商务与电子政务00022高等数学（工专）12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文00012英语（一）02120数据库及其应用02382管理信息系统090101农学03706思想道德修养与法律基础02664农业气象学02665农业生态基础00135农业经济与管理02660植物学（二）12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文02672作物育种学02674植物病虫害防治090402兽医03706思想道德修养与法律基础02767动物生理生化02790家畜外科学02787兽医药理学02791家畜传染病与寄生虫病12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文02792兽医卫生检验02785兽医微生物学100701护理学03706思想道德修养与法律基础02901病理学02903药理学（一）02996护理伦理学12656毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论04729大学语文02113医学心理学02998内科护理学（一）03001外科护理学（一）02899生理学二、独立本科段（含本科段）