模糊数学论文范文

关键词：地基承载力；抗剪强度指标；模糊可靠度

中图分类号：TU431

文献标识码：B

文章编号：1008-0422(2008)02-00132-02

1引言

在建筑地基基础设计中，现有方法主要是利用地基容许承载力进行地基基础设计的，其所采用的地基容许承载力是根据地基极限承载力除以定值安全系数得到的，即所谓的定值安全系数法。该方法在计算极限承载力时是采用传统的定值分析模式，没有考虑各个计算参数的变异性对极限承载力的影响，即便在计算时取用安全系数来考虑包括参数变异在内所有不利因素的影响也缺乏一定的科学依据，本质上仍属于定值分析的范畴[1～2]。事实上，由于地基极限承载力影响因素的复杂性和不确定性，导致岩土参数具有随机不确定性是不可避免，所以考虑影响地基稳定性的各随机变量的变异性与模糊性，用模糊概率来度量地基承载力的安全度，并采用可靠度理论对地基稳定性进行分析则更加符合工程实际。

概率分析是针对随机事件发生的可能性而言，但事件本身的含义明确；而当事件本身具有模糊性时，对事件发生的可能性进行描述则用模糊概率分析方法[3]。就地基的稳定性而言，失稳和稳定本身就是具有一定模糊性的事件，在二者之间存在一个模糊过渡区。因此，本文将视地基失稳为一模糊概率事件，利用概率理论与模糊数学理论建立分析地基失稳的方法，并通过建立相应的隶属函数对影响参数变异性及荷载效应与模糊可靠度之间的关系作进一步的分析。

2模糊概率的基本概念及模糊可靠度

工程问题的数学模型通常可分为三种：（1）背景对象具有确定性或固定性，且对象之间又具有必然联系的确定性模型；（2）背景对象具有或然性或随机性的随机性模型；（3）背景对象及其关系均具有模糊性的模糊数学模型。工程中传统的分析方法属于确定性模型，它以定值参数及定值安全系数来衡量工程的可靠度。而工程中目前使用较多的概率分析法则属于第二类方法，即随机数学模型，其以可靠度作为工程安全的评价标准，由于考虑了参数的随机性从而比定值安全系数法合理。但是参数本身不仅具有随机性而且还具有模糊性，理想的方法应该同时反映这些性质，模糊可靠度分析则能很好的体现此特性，因此，本文采用模糊可靠度分析方法对地基极限承载力进行分析。

由模糊数学理论[4]可知，如果模糊事件A在区域X上的隶属函数为u(x)，则该模糊事件的概率[5]可表示为

式中，f(x)为X的概率密度函数。

则模糊可靠度为：

3地基失稳的模糊性及隶属函数确定

进行地基模糊可靠度分析，首先要建立地基稳定的极限状态方程。以综合随机变量表示的极限状态方程为：

(3)

式中，fu为地基的极限承载力，s为作用于基础底面的点荷载效应，等于恒载sG与活载sQ之和，即为：

(4)

地基极限承载力的计算公式较多，一般采用汉森公式[6]，可写为：

式中，Nr，Nc，Nq为承载力系数，按Vesic公式有：

按传统的非此即彼的思维方法，可知M＜0，地基失效；M＞0地基稳定。实际上地基失效是一个过程，而不是由某一个点的状态决定，是一模糊事件。若用uA表示失效程度，则当uA接近0时，表示失效的可能性很小；当uA＝0.5时，处于失效与非失效的模糊状态，可看作传统分析的极限平衡状态；当uA＝1时，失效的可能性最大，因此公式(3)中的M为随机变量，其数字特征值为：

由于M同时具有模糊性，在此设M的失效程度隶属函数uA采用降半梯型分布[7]，即

4安全系数下地基稳定的模糊可靠度计算

安全系数下地基承载力的实用设计表达式写为：

式中，sG为恒载效应均值，sQ为活载效应均值，为c、φ均值代入式(6)所计算的结果。

考虑荷载效应比值，代入(13)可以确定sG，sQ为：

式(15)、(16)代入(9)得到：

按《建筑结构设计统一标准》的规定，恒载效应的变异系数为0.07，活载效应的变异系数取为0.29，所以有：

不考虑fu，s之间的相关性，即cov(fu，s)＝0，则由式(10)可得：

本文视几何尺寸B、D，土性指标γ，γ0为常量，仅把抗剪指标c、φ作为随机正态变量，简化假设fu，s也服从正态分布，则z近似服从正态分布，分布密度函数为

将(11)、(16)、(19)、(20)代入(1)得到地基失效的模糊概率为

地基失效的模糊可靠度为：

5算例分析

已知某条形基础，基底宽度3.5m，埋深2.5m，各随机变量均服从正态分布，其均值和变异系数如表1所示，取安全系数为2，荷载效应比值为0.5，试求地基的模糊可靠度。

5.1将各基本随机变量代入公式（22）、（23）可以计算得到：

Pf＝23.16％,此时模糊可靠度β＝0.75。

5.2基本随机变量对模糊可靠度的影响为了分析不同随机变量的变异对模糊失效概率的敏感程度，特对某一随机变量的变异系数进行了单独调整，并分析计算结果的变化，见表2。

从表中结果可知c、φ值的敏感性大，而γ的敏感性小，为简化计算，γB、γD可视为常量。

5.3荷载效应ρ与模糊可靠度的关系

表3给出了安全系数为2时荷载效应与模糊可靠度的关系，由分析结果可知，当荷载效应系数增大时，活荷载的比重相应增加，由于其变异性比恒载大，故模糊失效概率增加。

6结论

地基承载力的模糊失效概率值，不仅考虑了基本随机变量的随机变异性，同时考虑了变量及判别模式的模糊性，因此，计算分析结果更为合理、全面。通过研究分析可得如下结论：

6.1地基承载力的模糊概率分析的主要影响因素为强度参数c、φ的变异性，而γ的变异性可以不计，计算中按常量考虑；

6.2随着荷载效应系数的增大，地基承载力的模糊失效概率增加。

参考文献：

[1]高大钊.土力学可靠性原理[M].北京:中国建筑工业出版社，1989.

[2]倪红，刘新宇，秦玉.土性参数概率特性对地基承载力可靠度的影响[J].理工大学学报（自然科学版），2004，5(3):67～69.

[3]郭书祥，吕震宙.概率模型含模糊分布参数时的模糊失效概率计算方法[J].机械强度，2003，25(5):527～529.

[4]彭祖赠，孙韫玉.模糊(Fuzzy)数学几其应用[M].武汉:武汉大学出版社，2002，3.

[5]吕震宙，冯元生.考虑随机模糊性时结构广义可靠度计算方法[J].固体力学学报，1997，18(1):80～85.

[6]熊启东，高大钊.用汉森公式确定地基承载力的可靠度分析[J].岩土工程学报，1998，20(3):79～81.

模糊数学论文范文篇2

关键词:模糊神经网络;股票预测

一、引言

中国股市经过十余年的发展,应该说已经取得十分巨大的成就,但是与国外成熟股市相比仍然是一个新兴市场。事实上,探索和研究股票价格波动的复杂性和规律性,是许多经济工作者,尤其是证券研究者一直追求的目标。

股票交易数据预测是一种时间序列预测方法。时间序列预测法是依据预测对象过去的统计数据,找到其随时间变化的规律,建立时序模型,以判断未来数值的预测方法。其基本思想是:过去的变化规律会持续到未来,即未来是过去的延伸。一般一维时间序列预测方法有移动平均与分解方法、指数平滑方法、状态空间模型等。这些预测方法经过长期的发展,在定量预测模型和定性预测模型等方面都有长足的进步。但是,当系统具有较强的非线性时,这些方法的适应性却是有限的,在实际的预测环境中常常失去效用,因此用这些传统的预测方法解决这类问题十分困难。

二、神经网络和模糊逻辑结合的可能性

神经网络的兴趣在于人脑的微观结构。并通过有自学习、自组识、自适应功能的神经网络上的非线性并行分散动力学,对无法语言化的模式信息进行处理。模糊逻辑根据人为定义的隶属函数和一系列并串行的规则,用逻辑推理去处理各种模糊性的信息,是通过模仿人的思维方式来表示和分析不确定、不精确信息的方法和工具。尽管“模糊”这个词在这里容易使人产生误解,实际上在模糊逻辑控制中的每一个特定的输入都对应着一个实际的输出。所以模糊逻辑本身并不模糊,模糊逻辑并不是“模糊的”逻辑,而是用来对“模糊”进行处理以达到消除模糊的逻辑,它是一种精确解决不精确、不完全信息的方法,其最大特点就是用它可以比较自然地处理人的概念,是一种更人性化的方法。在处理数据时,模糊逻辑更能容忍噪音干扰和元器件的变化,使系统适应性更好模。糊逻辑还对使产品开发周期缩短而编程更容易。通过模糊化样本,提高了样本集中各样本的质量,进而改进能量函数。用神经网络去预测股票,在对信息的推理上还存在相当大的困难;而在信息的获取方面,模糊技术也显得十分软弱。

因此本文根据模糊逻辑和神经网络的各自长处把它们结合起来,利用这种方法对股票预测进行研究。模糊系统提供了一种推论式语句用来逼近人的推理能力和并且应用到基于知识的系统中。模糊逻辑理论是用一种数学工具来获取人们认知过程。然而,模糊逻辑中有个共同的瓶颈是它们都依赖于由领域专家给出的规则,而且,不存在正式的框架来选择模糊系统的各种参数,因此,调整参数的方法是模糊系统的一个重要研究课题。另一方面,神经网络所具有一些重要的有点,比如学习能力、自适应能力、容错能力等,所以神经网络能够处理复杂的、非线性的以及不确定性问题。正是因为如此,可以相信它们具有构建与人们人之有关的各种行为的潜能。但是神经网络的主要问题是它没有明确的物理意义,使用者不知道这些网络是如何运转的。这就是为何神经网络总是被称为“黑箱”的原因。对以一个训练好的神经网络,其连接权值不能清楚地说明网络是如何处理数据的,其含义是什么。特别是,现在的神经网络理论还没有提供一种方法来预测训练好了的网络的输出。因此,在实际应用中造成了一些不确定性。

把模糊系统和神经网络的结合成为模糊神经网络,该网络致力于获得两种系统的优点而克服各自的缺点。正如前文提到的,神经网络的优点在于,第一个是能够生成不需要明确表现知识的规则;第二个是其强大的自学能力。模糊系统的优点在于,第一个是能用模糊性的语言表达知识;第二个是能用简单的预算来实现知识的模糊推理。两者的结合可以解决模糊系统中的只是抽取问题以及专家知识也能很容易融合到神经网络中,避免了初值选择的任意性。

三、模糊神经网络的模型设计

1、模型的结构

模糊神经网络与一般的神经网络相类似,通常分为前向型模糊神经网络和反馈型模糊神经网络两类。本文采用的就是前向型模糊神经网络。该网络是可以实现模糊映射关系的模糊神经网络。一个前向型模糊神经网络可分为五层组成,分别为输入层、模糊化层、模糊推理层、去模糊化层和输出层。图1-1为含有两个输入层节点、一个输出节点的一个基本前向模糊神经网络结构。

输入层指的是接受外部输入信号的一层,并将输入值传送给模糊化层的模糊单元;模糊化层的作用是按模糊规则将输入值转换为一定的模糊度,是对模糊信息进行预处理的网层。模糊推理层是前向型模糊神经网络的核心,其网络参数是由具体问题所确定的;去模糊化层接受经中间层处理的数据,并按照模糊度函数将数据进行非模糊化处理;最后输出层给出确定性求解结果。

本文采用的是TS模糊神经网络。该神经网络分为输入层、模糊化层、模糊规则计算层和输出层(包括去模糊化)。输入层与输入向量xi连接,节点数与输入向量的维数相同。模糊化层采用隶属度函数(公式1-1)对输入值进行模糊化得到模糊隶属度值μ。模糊规则计算层采用模糊连乘(公式1-2)计算得到φ。输出层采用(公式1-3)计算模糊神经网络的输出。下面给出各公式:

1-1

式中,分别为隶属度函数的中心和宽度;k为输入参数;n为模糊子集数。

1-2

1-3

式中为模糊系统参数。

2、模糊神经网络的学习算法

(1)误差计算

式中,yd为网络期望输出;yc是网络实际输出,e为期望输出和实际输出的误差。

(2)系数修正

式中,为神经网络系数;α为网络学习率;xj为网络输入参数;φi为输入参数隶属度连乘积。

(3)参数修正

式中,、分别为隶属度函数的中心和宽度。

3、预测模型的结构设计和参数的设定

网络结构的选择需要考虑以下因素:软硬件实现的难易程度、训练速度和网络的推广能力等,其中网络的推广能力是最主要的,网络结构设计至今还没有确定的方法可循。14世纪的法国修道士提出过一个最简单原则:“与己知事实满意符合(一致)的理论中最简单者就是最好的理论”,后人称此原则为“奥克姆剃刀”。由此产生了一个公认的指导原则:“在没有其他经验知识时,能与给定样本满意符合(一致)的最简单(规模最小的网络就是最好的选择”。这相当于在样本点的误差在允许范围条件下用参数最少的模型去逼近一个未知的非线性映射。

从总体上来说,网络结构设计并没有固定可循的步骤,有许多参数要靠经验选择,并通过试验加以比较。规模小的网络的泛化能力强,同时也易于理解和抽取规则、知识,便于软硬件实现。通常情况下,由于训练样本有限,所以把泛化能力作为主要要求,强调选择能达到要求的最小网络。理论证明,一个三层网络可以任意逼近一个非线性连续函数。

基于T-S模糊神经网络的算法流程如图1-2所示。其中模糊神经网络构建根据训练样本维数确定模糊神经网络的输入和输出的节点以及模糊隶属度函数个数。由于输入数据为开盘价,最高价,最低价,收盘价这四组数据,所以为n=4维的,输出的是次日的开盘价格即输出数据为1维的。在模糊化层中,该层有nm个节点,利用K-means法对样本进行聚类分析得到模糊规则数以确定m。在聚类分析得出m=2所以得到节点数为8,该模糊神经网络的结构为4-8-1。在根据T-S的模型,所以选择5组系数ρi。

虽然权值随迭代而更新,一般都是收敛的,但是如果初始值设置的太大的话会影响该网络,会使网络饱和的很快。初始的权值对收敛速度也会造成影响。实验表明,初始权值只要不是过大,对网络整体的性能的影响并不大,一般可选在(-0.5,0.5),本文取权值为0。由于本文的隶属度函数利用的是高斯函数,所以高斯函数中的中心和宽度随机得到。

在学习率和网络参数的选择上,若选择的太小,会使网络参数修改量过小,收敛的速度缓慢;若选择的太大,虽然可以加快了学习的速度,但是有可能导致在稳定点附近进行持续的振荡,难以收敛,目前在理论上还没有明确的确定学习率的方法,对于具体问题需要进行试验,通过实验比较出适合的学习率,本文在通过实验选取学习率为0.025,网络参数选取0.001,最大迭代次数选取为100。

四、实证分析

1、预测的效果

选取绿景地产(000502)2010年1月20日连续120个交易日的数据作为训练和预测样本。其中使用前100个交易日的指标作为训练样本训练网络,用后20个数据进行样本预测。

如图1-3为训练网络的效果图,该结果是用归一化后的数据。

表1-1列出真实值和预测值以及预测的相对误差((真实值-预测值)/真实值):

2、网络性能的评价

对神经网络常用的预测性能的评价指标常用的有RRMS,MPE,mpe,PC。选取绿景地产(000502)2010年1月20日连续120个交易日的数据作为训练和预测样本。其中使用前100个交易日的指标作为训练样本训练网络,用后20个数据进行样本预测。本系统的各项性能指标如下:

相对均方根误差:RRMS=0.63%最大误差:MPE=0.19元正确趋势率:PCD=65%

从以上指标看出用该模糊神经网络进行预测是有效的,预测系统式成功的。

五、总结

股票市场是反映经济的“晴雨表”,其作用不但被政府重视,而且受投资大众的普遍关注,股票市场中的收益伴随着风险,以最小风险获得最大收益是每个投资者的目标,所以研究股票市场内在规律及其预测具有重大的意义和应用的价值。股票交易数据预测是时间序列预测。在股票市场这个极其复杂的系统中,它所具有的非线性和高噪声等因素决定了股票预测的过程的复杂与困难,传统预测方法很难应用于此,难以建立有效的数学模型。

神经网络是一种很好的时间序列预测方法。神经网络具有逼近任意复杂连续函数关系的能力,而这些能力正是传统方法所不具有的。本文把模糊逻辑和神经网络相结合起来,首先介绍了模糊系统和神经网络的基本知识以及二者结合的可能性。然后建立模糊神经网络模型并用于股票价格的预测,运用相关分析在剔除了与预测指标相关性较小的指标,简化了模糊神经网络的结构,并在实际的试验中确定了相关网络系数的初始值,简要的介绍了建模的工具,并用设立模糊等级对模糊神经网络的有效性进行了评价,在通过实证分析证实了网络系统基本上达到了预想的要求。

参考文献:

[1]胡守仁,神经网络应用技术[M],国防科技大学出版社,1993

[2]赵振宇,模糊理论和神经网络的基础与应用[M],清华大学出版社,1996

[3]刘增良,模糊逻辑与神经网络[M],北京航空航天大学出版社,1996

[4]吴华星,基于神经网络的股票价格预测,中国科学院计算技术研究所,1998

[5]姚培福,人工神经网络在股票预测中的应用与研究,昆明理工大学硕士学位论文,2007

模糊数学论文范文

关键词：地基承载力；抗剪强度指标；模糊可靠度

1引言

在建筑地基基础设计中，现有方法主要是利用地基容许承载力进行地基基础设计的，其所采用的地基容许承载力是根据地基极限承载力除以定值安全系数得到的，即所谓的定值安全系数法。该方法在计算极限承载力时是采用传统的定值分析模式，没有考虑各个计算参数的变异性对极限承载力的影响，即便在计算时取用安全系数来考虑包括参数变异在内所有不利因素的影响也缺乏一定的科学依据，本质上仍属于定值分析的范畴[1～2]。事实上，由于地基极限承载力影响因素的复杂性和不确定性，导致岩土参数具有随机不确定性是不可避免，所以考虑影响地基稳定性的各随机变量的变异性与模糊性，用模糊概率来度量地基承载力的安全度，并采用可靠度理论对地基稳定性进行分析则更加符合工程实际。

概率分析是针对随机事件发生的可能性而言，但事件本身的含义明确；而当事件本身具有模糊性时，对事件发生的可能性进行描述则用模糊概率分析方法[3]。就地基的稳定性而言，失稳和稳定本身就是具有一定模糊性的事件，在二者之间存在一个模糊过渡区。因此，本文将视地基失稳为一模糊概率事件，利用概率理论与模糊数学理论建立分析地基失稳的方法，并通过建立相应的隶属函数对影响参数变异性及荷载效应与模糊可靠度之间的关系作进一步的分析。

2模糊概率的基本概念及模糊可靠度

工程问题的数学模型通常可分为三种：（1）背景对象具有确定性或固定性，且对象之间又具有必然联系的确定性模型；（2）背景对象具有或然性或随机性的随机性模型；（3）背景对象及其关系均具有模糊性的模糊数学模型。工程中传统的分析方法属于确定性模型，它以定值参数及定值安全系数来衡量工程的可靠度。而工程中目前使用较多的概率分析法则属于第二类方法，即随机数学模型，其以可靠度作为工程安全的评价标准，由于考虑了参数的随机性从而比定值安全系数法合理。但是参数本身不仅具有随机性而且还具有模糊性，理想的方法应该同时反映这些性质，模糊可靠度分析则能很好的体现此特性，因此，本文采用模糊可靠度分析方法对地基极限承载力进行分析。

由模糊数学理论[4]可知，如果模糊事件A在区域X上的隶属函数为u(x)，则该模糊事件的概率[5]可表示为

式中，f(x)为X的概率密度函数。

则模糊可靠度为：

3地基失稳的模糊性及隶属函数确定

进行地基模糊可靠度分析，首先要建立地基稳定的极限状态方程。以综合随机变量表示的极限状态方程为：

式中，fu为地基的极限承载力，s为作用于基础底面的点荷载效应，等于恒载sG与活载sQ之和，即为：

地基极限承载力的计算公式较多，一般采用汉森公式[6]，可写为：

式中，Nr，Nc，Nq为承载力系数，按Vesic公式有：

按传统的非此即彼的思维方法，可知M＜0，地基失效；M＞0地基稳定。实际上地基失效是一个过程，而不是由某一个点的状态决定，是一模糊事件。若用uA表示失效程度，则当uA接近0时，表示失效的可能性很小；当uA＝0.5时，处于失效与非失效的模糊状态，可看作传统分析的极限平衡状态；当uA＝1时，失效的可能性最大，因此公式(3)中的M为随机变量，其数字特征值为：

由于M同时具有模糊性，在此设M的失效程度隶属函数uA采用降半梯型分布[7]，即

4安全系数下地基稳定的模糊可靠度计算

安全系数下地基承载力的实用设计表达式写为：

式中，sG为恒载效应均值，sQ为活载效应均值，为c、φ均值代入式(6)所计算的结果。

考虑荷载效应比值，代入(13)可以确定sG，sQ为：

式(15)、(16)代入(9)得到：

按《建筑结构设计统一标准》的规定，恒载效应的变异系数为0.07，活载效应的变异系数取为0.29，所以有：

不考虑fu，s之间的相关性，即cov(fu，s)＝0，则由式(10)可得：

本文视几何尺寸B、D，土性指标γ，γ0为常量，仅把抗剪指标c、φ作为随机正态变量，简化假设fu，s也服从正态分布，则z近似服从正态分布，分布密度函数为

将(11)、(16)、(19)、(20)代入(1)得到地基失效的模糊概率为

地基失效的模糊可靠度为：

5算例分析

已知某条形基础，基底宽度3.5m，埋深2.5m，各随机变量均服从正态分布，其均值和变异系数如表1所示，取安全系数为2，荷载效应比值为0.5，试求地基的模糊可靠度。

5.1将各基本随机变量代入公式（22）、（23）可以计算得到：

Pf＝23.16％，此时模糊可靠度β＝0.75。

5.2基本随机变量对模糊可靠度的影响为了分析不同随机变量的变异对模糊失效概率的敏感程度，特对某一随机变量的变异系数进行了单独调整，并分析计算结果的变化，见表2。

从表中结果可知c、φ值的敏感性大，而γ的敏感性小，为简化计算，γB、γD可视为常量。

5.3荷载效应ρ与模糊可靠度的关系

表3给出了安全系数为2时荷载效应与模糊可靠度的关系，由分析结果可知，当荷载效应系数增大时，活荷载的比重相应增加，由于其变异性比恒载大，故模糊失效概率增加。

6结论

地基承载力的模糊失效概率值，不仅考虑了基本随机变量的随机变异性，同时考虑了变量及判别模式的模糊性，因此，计算分析结果更为合理、全面。通过研究分析可得如下结论：

6.1地基承载力的模糊概率分析的主要影响因素为强度参数c、φ的变异性，而γ的变异性可以不计，计算中按常量考虑；

6.2随着荷载效应系数的增大，地基承载力的模糊失效概率增加。

参考文献

[1]高大钊.土力学可靠性原理[M].北京:中国建筑工业出版社，1989.

[2]倪红，刘新宇，秦玉.土性参数概率特性对地基承载力可靠度的影响[J].解放军理工大学学报（自然科学版），2004，5(3):67～69.

[3]郭书祥，吕震宙.概率模型含模糊分布参数时的模糊失效概率计算方法[J].机械强度，2003，25(5):527～529.

[4]彭祖赠，孙韫玉.模糊(Fuzzy)数学几其应用[M].武汉:武汉大学出版社，2002，3.

[5]吕震宙，冯元生.考虑随机模糊性时结构广义可靠度计算方法[J].固体力学学报，1997，18(1):80～85.