函数值域范文

【关键词】换元法；无理函数；分式无理函数；求值域的应用

换元法是一种变量代换，其实质是用一种变量形式去取代另一种变量形式，从而把一个函数变为简单函数.所换新元的范围由原函数的定义域及所换元的表达式来确定.本文对用代数换元法和三角换元法求三类无理函数的值域作些探讨.

一、形如“y=mx+n±ax+b”的函数

点拨函数为根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令t=ax+b，将原函数转化为t的二次函数.通过换元将问题转化为求二次函数值域，但是换元后要注意新元的范围.

例1求函数f（x）=x-3+2x+1的值域.解函数的定义域为x|x≥-12.设t=2x+1，（t≥0），

则x=t2-12，于是y=t2-12-3+t，当t=0时，

即x=-12，ymin=-72.

当t+∞时，y+∞.

所以，原函数的值域为yy≥-72.

二、形如“y=mx+n±ax2+bx+c（a0）”的函数

点拨函数根号内外自变量x的次数不同，又a0，函数的定义域为闭区间[x1，x2]，一般采用三角换元法求函数的值域.可令x=x2-x12sinα+x2+x12且α∈-π2，π2，即原函数可化为y=Asin（α+φ）+k型函数，可得出函数的值域.至于a>0且Δ>0及其他类型，可自己分析一下.

例2求函数f（x）=2x-4-x2的值域.

解令x=2cosα，（0≤α≤π），

则f（x）=4cosα-4-4cos2α=4cosα-2sinα=25sin（φ-α），

其中sinφ=25，cosφ=25.因为0≤α≤π，所以φ-π≤φ-α≤φ.

所以-1≤sin（φ-α）≤sinφ，而sinφ=25.

所以函数f（x）=2x-4-x2的值域为f（x）∈[-25，4].

三、形如“y=max+b±ncx+d，（ac

点拨函数的两根号内自变量都是一次或都是二次，且ac

例3已知函数f（x）=1-x+x+3的值域.

解因为函数定义域为x∈[-3，1]，故1-x∈[0，2]，

所以可设1-x=2cosθ，x+3=2sinθ，θ∈0，π2.

所以y=2cosθ+2sinθ=22sinθ+π4.因为θ∈0，π2，θ+π4∈π4，3π4.

sinθ+π4∈22，1.所以2≤y≤22.故ymax=22，ymin=2.

函数y=1-x+x+3的值域f（x）∈[2，22].

四、无理分式函数f（x）=p（x）q（x）求值域

点拨根据函数表达式的结构特征选择适当的方法转化为求一个简单函数的值域.其基本思想方法是通过适当的换元，将其转化为我们熟知的函数后求值域.

例4求函数y=x3（1+x2）3的值域.

解x∈R，令x=tanα，α∈-π2，π2，

则y=tan3α（1+tan2α）3=tan3αsec6α=tan3αsec3α=sin3α.

因为α∈-π2，π2，所以-1

总之，采用换元法求函数的值域，其目的有两个，一是化简运算过程，避繁求简；二是转化函数的形式，化生为熟.

【参考文献】

函数值域范文

函数是中学数学的重要内容，函数的值域是函数概念的三要素之一。一般地，求函数值域的问题可以转化为解不等式、求反函数的定义域、求最值、判断函数的单调区间、一元二次方程有实根的判别式0的应用、用新变量代换函数式中的某些量、函数的有界性、画函数的图像等等，在数学思想方法上是融会贯通的。

一.反函数法

利用反函数的定义域求原来函数的值域。互为反函数的两个函数，原函数的定义域是它的反函数的值域，原函数的值域是它的反函数的定义域，因此只要求出反函数的定义域，就求出了原函数的值域，这样求函数的值域的问题便得以解决。

例1.求y=函数的值域.

分析：函数y=的反函数为y=log，且其定义域为.

函数的值域为.

二.不等式法

根据完全平方数、算术平方根为非负数等特点，先由函数的定义域，列出满足条件的不等式或不等式组，而后解不等式或不等式组，判断函数的值域，有的题目也可以直接由函数的自变量取值范围观察确定函数的值域。还有些题目可以直接由均值不等式求出函数的值域。

例2求函数的值域.

解：

，

故值域为.

三.用求函数最值的方法求函数的值域

函数的最大值与最小值是中学数学的知识点，最值问题涉及中学数学的各个分支，融会了众多数学思想和解题方法，构成了中学数学中重要的横向知识体系，它对于求一部分函数的值域有很重要的作用。

例3.求函数y=

的值域.

解y=，

当x=2时，=3；

当x=0时，=.

函数的值域为[].

四.单调性法

函数的单调性是函数的重要性质，利用函数在给定区间的单调性来求值域是常用的方法，只要知道函数在给定的区间的增减性，就可以首先确定函数的最大值或最小值或最大值与最小值，然后确定函数的值域.

例4.求函数的值域，

解设，

，

易知它是定义域内为增函数，从而，.

在上也为增函数，而且，故函数的值域为.

五.判别式法

把已知函数看做是以x为未知数，以y为参数的方程，进行恒等变形，得到关于x的一元二次方程，再利用一元二次方程有实根的判别式，列出关于的不等式，解不等式求函数的值域.

例5.求函数的值域.

解：整理得

.

当时，，得；

当时，x=-.

又当y=1时，x=0；y=时，x=-1，0与-1在定义域内.

值域为.

六.换元求函数值域的方法

以新变量代换函数式中的某些量，使函数转为以新变量为自变量的形式。

在新变量代换某些量的过程中，必须由某些量在函数解析式中的意义，确定新变量的取值范围。写出新变量代换某些量的表达式，然后整理转化为原自变量为函数，新变量为自变量的函数表达式，再代入原函数解析式中，得到原函数与新自变量关系的函数解析式，这样函数将变为新自变量的二次函数，下面通过配方求出函数的最大值或最小值，进而求出值域。

例6.求函数的值域.

解：设，

则.

于是

，

函数的值域为.

七.有界法.

把待求值域的函数式，通过恒等变形变为值域已知的函数式，再利用变形后的函数式的值域，求出原来函数的值域.

例7.求函数的值域.

解，

，又

，.

解得，，因此

函数值域为.

八.图像法

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，因而数形结合的思想是研究数学的基本思想之一。"数缺形时少直观，形缺数时难入微"。就是说，在解题时要经常思考，有些数量关系可以借助图形，使抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化，找到研究对象的"几何意义"来形象、直观地揭示数量关系，启示解题思路。

画出函数图像，增强直观形象性，从图像上直观的得出函数值域.

例8.求函数的值域.

解：

可以看做是单位圆外的一点到点与圆上的点的所连线段的斜率的2倍，由下图知，，

设过的直线方程为：

，即

，，

整理得，

，

解得，

值域为.

例9.已知函数，求函数的值域.

解：分子分母同除以，得

令则

当时，.当时，.所以，

其图像如下图所示：

，函数有最大值

.

，函数有最小值

，故函数值域为

九.导函数法

导函数法求函数的值域就是利用导数和函数的连续性求出各个极值点，再与连续函数端点值进行比较，从而求得最大值和最小值，故求出值域.其中过程中有重要的几点⑴求导，准确无误求得函数的导函数.⑵确定零点，求出导函数的零点.⑶确定函数的单调性，由导函数的符号确定函数在每个区间的单调性.⑷求最值，通过比较极值和端点值的大小，求得最大值和最小值，故求得值域.

例10.已知，且函数

当时，求函数值域.

若曲线不经过第4象限，求实数的取值范围.

解当时，

令，则.

由题意得，，

当时，

当时，，单调递增

，

无最大值

函数的值域为

根据题意可知，当

即

在时恒成立.

令，则

当，有，故在上单调递减.

故的值域为，因此满足

函数值域范文篇3

1.形如“y=cx+d1ax+b（a≠0）”的函数，特征：一次函数与一次函数商的形式

例求函数y=-3x+112x-3的值域.

解y=-3x+212x-1=-312（2x-1）+11212x-1=-312+11212x-1，因为11212x-1≠0，所以y≠-312.

故函数值域为-∞，-312∪-312，+∞.

说明此法称为分离常数法，能针对一切两个一次的商形式的函数值域，对于一般形式y=cx+d1ax+b（a≠0）的值域为-∞，c1a∪c1a，+∞，即y≠c1a.当然这种形式的函数还可以用反函数法，原函数的值域就是反函数的定义域，不过计算过于复杂.

2.形如“y=ax2+bx+c1dx2+ex+f（a2+d2≠0，e2-4df

例求函数y=2x2+4x-71x2+2x+3的值域.

解原函数可变形为（y-2）x2+2（y-2）x+3y+7=0，当y=2时，13=0不成立，所以y≠2.因为x∈R，所以上述关于x的一元二次方程有实数根，则有Δ=[2（y-2）]2-4（y-2）（3y+7）≥0，解得-912≤y≤2，而y≠2.故函数值域为-912，2.

说明此方法称为判别式法，尤其要注意的是：①函数的定义域应为R；②分子、分母没有公因式；③二次方程中只有二次项系数非零时，才能使用判别式.

3.形如“y=mx+n±ax+b”的函数，特征：一次函数与“根号下为一次函数”的和差形式

例求函数y=2x+13-4x-3的值域.

解令13-4x=t，则t≥0且x=114（13-t2），原函数变为y=-112t2+t+712=-112（t-1）2+4.当t=1时，ymax=4，当t+∞时，y-∞.故函数值域为（-∞，4].

说明此法适用于根号内外自变量的次数为一次（甚至次数相同）的无理函数，一般令ax+b=t，将原函数转化为t的二次函数.此方法称为换元法，其实质在于将不熟悉的函数形式转化为熟悉的函数形式.就像人换了不同的衣服，但身高没变一样.

4.形如“y=af2（x）+bf（x）+c（a≠0）”的函数，特征：二次函数与函数f（x）复合的形式

例求函数y=sin2x-sinx+2的值域.

解令sinx=t，则-1≤t≤1，于是原函数变为y=t2-t+2=t-1122+714.因为-1≤t≤1，所以当t=112时，ymin=714；当t=-1时，ymax=4.故函数值域为714，4.

说明此方法是简单换元与二次函数性质的综合应用，特别注意找到作为一个整体的f（x），以及当令f（x）=t时t的范围.又如y=4x-3·2x+1中应令2x=t，此时t>0.

5.形如“y=f（x）+k1f（x）（f（x）∈R，f（x）≠0）”的函数，特征：函数与k倍倒数的和的形式

例求函数y=lgx+11lgx-1的值域.

解当0

说明此方法称为基本不等式法，原理为a+b≥2ab（a，b>0）.要注意的是f（x）必须取得除零以外的所有实数，并且f（x）的正负性明确，必须满足均值不等式的一正二定三相等的条件.

6.形如“y=a-x+x-b（a+b>0）”的函数，特征：函数x的系数为±1

例求函数y=1-x+x+3的值域.

解由题知-3≤x≤1时，令u=1-x，v=x+3.

则u2+v2=4

0≤u≤2

0≤v≤2，且y=u+v，在平面直角坐标系uOv中，作出圆弧u2+v2=4和直线y=u+v，如图所示，由图可知：2≤y≤22.