函数最值的应用范文

一、相关概念

1、值域：函数y=f(x)(x∈I)，所有函数值的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域.

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同.事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已，求函数的值域常常化归为求函数的最值.

3、由于函数的值域受定义域的制约，因此不论用什么方法求函数的值域，均应先考虑定义域.

二、确定函数值域的原则

1.当函数用表格给出时，函数的值域指表格中y实数的集合；

则值域为{1，2，3，4}

2.当函数是图像给出时，函数的值域是指图像在y轴上的投影所覆盖的实数的集合；

3.当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

4.由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定.

三、基本函数的值域

1.一次函数y=ax+b(a≠0)的值域为R；

2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域当a>0时，y∈[，+∞），当a

3.反比例函数y=(a≠0)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)；

4.指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的值域为(0,+∞)；

5.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的值域为R；

6.三角函数的有界性.

四、求函数值域的常用方法.

1.观察法：根据函数y=f(x)的解析式，直接观察出y的取值范围

例1求函数y=+1的值域.

解：x≠0，≠0，+1≠1，

函数y=+1的值域为(-∞,1)∪(1,+∞).

2.反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域.

例2求函数y=的值域.

解：由y=解得2x=，

2x>0，>0，-1

函数y=的值域为y∈（-1，1）.

3.分离常数法：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法.

例3求函数y=的值域.

解：y===-+，

≠0，y≠-，

函数y=的值域为{y|y≠-}.

4.配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法求解.

例4求函数y=x2-4x+1的最大值、最小值与值域：

解：y=x2-4x+1=(x-2)2-3，顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.

抛物线的开口向上，函数的定义域R，

x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3}.

例5如果函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值.

解：设t=ax,则y=f(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2，当a>1时，t∈[a-1,a]，ymax=a2+2a-1=14，解得a=3，满足a>1；当0

注：对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

（1）若定义域为R时，

①当a>0时，则当x=-时，其最小值ymin=；

②当a

（2）若定义域为x∈[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若x0∈[a,b],则f(x0)是函数的最小值（a>0）时或最大值（a

②若x0[a,b],则[a,b]是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a)，f(b)的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

5.换元法：利用代数或三角代换，将所给函数转化成易求值域的函数，形如y=的函数，令f(x)=t，形如y=ax+b±（a,b,c,d为常数且a≠0）的函数，令=t;形如含的结构的函数，可利用三角代换，令x=acosθ，θ∈[0,π]或令x=asinθ，θ∈[-,].

例6求函数y=2x+的值域.

解：令t=（t≥0），则x=，

y=-t2+t+1=-(t-)2+

当t=，即x=时，ymax=，无最小值.

函数y=2x+的值域为(-∞,].

例7函数y=x+的值域.

解：（三角代换法）-1≤x≤1，设x=cosθ，θ∈[0，π]

y=cosθ+|sinθ|=cosθ+sinθ=sin(θ+)∈[-1,]

原函数的值域为[-1,].

6.判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如y=.

例8求函数y=的值域.

方法一：去分母得(y-1)x2+(y+5)x-6y-6=0①

当y≠1时x∈RΔ=(y+5)2+4(y-1)×6(y+1)≥0

由此得(5y+1)2≥0.

检验y=-时，x=-=2代入①求根

函数定义域为{x|x≠2且x≠3}y≠-

再检验y=1代入①求得x=2y≠1

综上所述，函数y=的值域为{y|y≠1且y≠-}

方法二：把已知函数化为函数y===1-(x≠2)，由此可得y≠1.

x=2时y=-,即y≠-.

函数y=的值域为{y|y≠1且y≠-}.

说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.

7.不等式法：利用基本不等式a+b≥2，用此法求函数值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”.如利用a+b≥2求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件：①a>0,b>0；②a+b(或ab)为定值；③取等号条件a=b三个条件缺一不可.

例9已知x<，求函数y=4x-2+的最大值.

解：x<，5-4x>0，y=4x-2+=-(5-4x+)+3≤-2+3=1当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.

8.函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数y=ax+(a>0,b>0).当利用不等式法等号不能成立时，可考虑函数的单调性.判断函数的单调性，常利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数等基本初等函数的单调性，或利用导数求函数的单调性.

例10求函数y=x-的值域.

解：因为当x增大时，1-2x随x的增大而减少，-随x的增大而增大，所以函数y=x-在定义域(-∞,]上是增函数.

所以y≤-=，所以函数y=x-的值域为(-∞,].

9.函数的有界性法：形如y=,可用y表示出sinx.再根据-1≤sinx≤1,解关于y的不等式，可求y的值的范围.

例11求函数y=的值域.

解：将原函数化为

sinx+ycosx=2y,即(sinx•+cosx)=2y且cosφ=且sinφ=，

sin(x+φ)=，||≤1，

平方得3y2≤1,-≤y≤.

原函数的值域为[-,].

10.数形结合法

例12求函数y=+的最小值.

改造为y=+，并理解为点(x,0)至(-3,8)和(2,2)距离之和，易得最小值为5.

例13函数y=的最大值为,最小值为

.

将解析式理解为定点(2,3)与动点(-cosx,sinx)的连线斜率，且不难得出动点(-cosx,sinx)的轨迹为x2+y2=1,则只要求出过(2,3)且与单位圆相切的切线斜率即可，所求最大值与最小值.

例14求函数y=|x+2-|的单调区间和值域.

改造为y=•,将其中理解为动点(x，)至直线x-y+2=0的距离即可，不难得出动点(x，)的轨迹为单位圆的上半部分，从而易得函数y=f(x)在x∈[-1,-]是减函数，在x∈[-，1]是增函数，因此求得值域为y∈[2-,3].

点拨：数形结合法求函数值域的关键在于对函数表达式的几何意义的主观感知，从几何意义上去求解，这需要全面综合多方位地掌握数学基本概念.

11.导数法：设y=f(x)的导数为f′(x)，由f′(x)=0可求得极值点坐标，若函数定义域为[a,b],必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.

例15求函数y=-的值域.

解：函数的定义域由2x+4≥0x+3≥0求得，即x≥-2.

y′=-=

=

当x>-2时，y′>0，即函数y=-，在（-2，+∞）上是增函数，又f(-2)=-1，所求函数的值域为[-1，+∞）.

点评：（1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误.

函数最值的应用范文篇2

【关键词】二次函数；高中数学；函数关系

初三级教材对二次函数有了基本的介绍，但是由于学习任务的划分，初中阶段并没有要求对二次函数的应用。在以函数为主导高中数学中，二次函数占了很大的比重，高中数学任务强调知识的运用能力，这也就要求高中生对二次函数有更深入的了解，对二次函数的解答和模型建立都有详细的概念和较好的运用能力。

一、二次函数的定义

初中课本中界定，主要从函数关系上说明二次函数：一般来说，如果自变量x和因变量y之间存在着如下关系：均为常数，且，我们就称x是y的一元二次函数。但是高中数学从映射观点上重新解释二次函数：二次函数就是从一个结合A（定义域）到另一个集合B（值域）上的一个映射f：AB，使得集合B中的元素均为常数，且与集合A的元素X一一对应，用函数表示为：为常数，且其中为对应法则，又表示定义域中元素X的象。

二、二次函数定义域和值域问题

定义域和值域问题是二次函数中比较简单的求解问题。

定义域就是函数关系中的自变量的取值范围，如果没有要求，就要根据情况进行自己选定，一般情况下都去全体实数，遇到实际问题模型是，要可以根据问题进行取舍，比如说向实际的生产运输问题，这类要求是x≥0。有时，定义域的取值是间断的几段曲线，比如|x|>2，这是解答时要特别注意端点的取舍问题，有时候我们所得到的解就在端点，但是一个等号的取舍不当可能断送一道题目。求解定义域时，解尽可能写成集合形式，从小到大依次书写，这也可以降低解函数表达式不完整的情况。

值域就是的对应y的取值，在高中数学中，值域的考察还是相当多，值域特别注意的极值问题，在值域计算中，要注意断点和端点的。一般求值域的方法是找到全部的端点和极值点，分别求出对应的数值，同时准确判断出各个点之间的单调性，这样可以罗列出一组取值范围，在这些值中找到连续段和孤立点，然后进行解的集合组合。

三、二次函数单调性和最值问题

单调性就是指函数在某个区间段中呈现出的变化趋势，单调性的求解用来判断函数的最大值或者最小值，也可以用来判断实际函数模型的生产关系。在高中数学中，直接求解单调性的问题不多，大都是通过单调性的判断，进行相关最值、极值的计算。

最值问题是高中数学函数重要的部分之一，最值的求方式有很多，主要有画图法、配方法、因式分解法、到导数分析法，在具体问题分析时，要根据题设要求，选择最简单可行的方法。

四、二次函数的应用

【参考文献】

[1]王刚.浅谈二次函数在高中数学中的应用[J].科技视界，2012，（13）.

[2]张丹文.浅谈二次函数在高中数学中的应用[J].学周刊：A，2012，（6）.

函数最值的应用范文

一、求曲线上某点的切线方程

求切线方程是解决曲线切线问题的基础，因此我们必须准确理解导数的几何意义，并牢固掌握求导法则.求曲线上某点的切线方程又可以分两类：⑴此点为切点，这就意味着不用再求出切点，可以直接求切线方程了；⑵求过某点的切线方程，点在曲线上，这类问题就要求我们注意了，此点是否为切点还要我们验证才知道，如果我们一开始就认定此点为切点，那就很容易出错了.此点为切点的题目我们见得多了，但也很可能出现在曲线上的点却不是切点，这就要求我们先判断再解题了.

例1.曲线上点，求过点的切线方程.

分析：点在已知曲线上，本题要求的是过点的切线方程，但点不一定是切点，故我们解题时要先求出切点坐标.

解设切点坐标为，则，

则处的切线方程是.

该切线过点，

化简得：，

解得：或，

过点的切线的斜率是或，

过点的切线方程为：

或.

即所求的切线方程是：或.

评注：我们做这类题型时往往会把点作为唯一一个切点，这样的话我们就只求出点处的切线，而漏解另外一条切线.从本题求解过程我们不难悟出求切点坐标的方法，这很重要，要记住.

应用导数求切线方程的一般步骤：

（1）设切点.

（2）求.

（3）写出切线方程：.

2.在解析几何中求最值

在解析几何中的最值问题一般是求两条曲线之间的最短距离，在高考中常出现的类型是求一条抛物线（或双曲线）到一条直线的最短距离，这类题的解题步骤一般为：先求出与直线平行的抛物线（或双曲线）的切线的切点坐标，然后由点到线的距离公式得出所求的距离.

例2求抛物线的点到直线的最短距离.

解设与直线平行的抛物线的切线的切点坐标为，

则，

，因此，切点坐标为，

切点到直线的距离为，且.

所以抛物线上点到直线的最短距离为.

评注：求抛物线上的点到直线的最短距离，应先求出与直线平行的抛物线的切线的切点坐标，再求出该切点到直线的距离就是所求的最短距离了.

3.求函数的解析式

例3.已知函数的图像过点，且不等式对于一切实数都成立，求的解析式.

分析：由所给不等式的几何意义知，抛物线夹在直线与抛物线之间，而直线与抛物线只有唯一公共点，故知直线与抛物线、相切于同一个点，此为解题的关键.

解的图像过点，

①

，则

②

由①、②解得：，

则有.

则有.

设、、，

我们可以知道的图像夹在与之间，又与的图像有且只有一个公共点，故直线与抛物线、切于同一点.

而，即

，，.

所以所求函数为：.

评注：函数的解析式往往要结合该函数的图像特点来解决，而应用导数来解函数的解析式也可以使问题简化.上面的例题用函数的图像特点可以解出、的值，而要解出值就要对所求函数进行求导，再把切点的坐标代入就可以求出值了，进而可以求出函数的解析式.

4.解与函数图像特征有关的问题

例4.设函数的图像为，函数的图像为，已知在与的一个交点的切线相互垂直.

（1）求，之间的关系；

（2）若，，求的最大值.

解（1）对于：，有

对于：，有

设与的一个交点为.

由题意知过交点的两条切线互相垂直，

，

即①

又点在与上，故有

，

所以②

由①、②消去，可得

（2）由于，且

当且仅当时取等号，故的最大值为.

评注：本题以函数图像为背景考查导数的几何意义和语言转化能力，而应用导数的几何意义是解决这类问题的关键.

不管是求函数的解析式还是解与函数图像特征有关的问题，这往往要观察函数图像的特征，结合导数的几何意义解题，这样会使解题过程变得简便.

5.求含参数的函数的单调性

有时在求函数的单调性时，常常搭配几个参数来增加题目的难度，像这类型的题通常需要对参数经分类讨论求函数的单调性.

例5.已知，求函数的单调区间.

解

（1）当时

若，则；若，则，

所以当时，函数在区间内为减函数，

函数在区间内为增函数.

（2）当时

由，解得或，

由，解得，

所以，当时，函数在区间内为增函数，在区间内为减函数.

（3）当时

由，解得

由，解得或，

所以当时，函数在区间内为增函数，

函数在区间内为减函数.

评注：不管是求不含参数的函数的单调性还是求含参数的单调性，都要先对所求函数进行求导，通过对所求导数的大于零（或小于零）的值来判断所求函数的单调性，而在求含参数的函数的单调性时就要对参数进行分类讨论后再判断.

6.求函数极值

例6.求函数的极值.

解，

令，解得，，，

当变化时，，的变化情况如下表:

所以，当时，有极大值，，

当时，有极小值，.

评注：求函数的最值重要的是先求出的值，然后根据在定义域中的变化，、随着的变化情况再判断函数的极大值和极小值.

7.求函数最值

例3.4求函数在区间上的最大值与最小值.

解，

令，有解得

，，

当变化时，，的变化情况如下表：

从上表可知，最大值是17，最小值是8.

评注：函数的最值要求与函数的极值区分，函数的最值不一定是极值，函数的极值也不一定是最值，求函数的最值要求在极值和端点中比较，最大的值才是最大值，而最小的值就是最小值.函数的最值是在求出函数极值的基础上再与函数的端点值的比较后再得出所求的最大值（或最小值）.

8.求数列的最大（小）项

用导数求函数的最值应先求出函数极值再判断，而求数列最大（小）项，我们可以作辅助函数，通过判断辅助函数的单调性再得出数列的最大（小）项.

例8.已知数列｛｝是通项是，求数列｛｝的最大项.

解作辅助函数，

则

令解得：

令解得：或

在区间上是增函数，在区间上是减函数.

在区间内，

当时，函数取到最大值.

对，

，

即数列｛｝的最大项是3，且.