三角函数值范文

一、三角函数最值常见类型

（1）一次型三角函数。一次型三角函数是指那些三角函数的幂次数等于一的函数类型，例如：y=asin（bx）、y=asinbx+ccosdx、y=asinxcosx等。对此，此类函数的求法较为多样，也较为简单，可以总结为“遇不同，化相同”。

（2）二次型三角函数。二次型三角函数即是三角函数的幂指数出现大于一的情形，如：y=asin2x+bcos2x+csinxcosx、y=asin2x+bcosx等。此类三角函数最值的求解，常常利用三角函数的性质来求解。

（3）分数型三角函数。分数型三角函数问题常常会给学生们的函数最值带来困难，尤其是对分母的存在性定义是很多学生容易遗忘的地方。例如y=■、y=■等。对于分式型三角函数，我们常常是将分数型转换成一次性，或是采用换元等方法，实现对分数型的转换和化简。

二、三角函数最值问题求解策略

（1）三角函数有界性求解。三角函数的最值问题归根到底都是函数的有界性问题，在定义域不做限制的情况下，利用三角函数自身的有界性是解决基础性函数最值问题的有效手段。

【例题】（2009年福建高考）已知函数f（x）=sin（？棕x+？渍），其中？棕>0，|？渍|≤■。①若cos■cos？渍-sin■sin？渍=0，求？渍的值。②在①的条件下，若函数f（x）的图像的两相邻的对称轴之间的距离等于■，求函数的解析式。

【分析】对于本题的第一问，我们可以利用三角函数的有界性直接快速得到答案。由sin■=sin■，可得到cos■cos？渍-sin■sin？渍=0，即cos（■+？渍）=0。此时，结合本题的限制条件|？渍|≤■，于是可以得到？渍值为■。对于本题第二问，我们只要将？渍值带入后，利用三角函数的周期性，结合函数图像性质，我们即可求得具体的函数表达式。对于三角函数最基础的有界性、单调性、周期性等原则的掌握，是学生们解决函数最值问题的核心，只有学生们的函数基础扎实了，函数最值与其他数学知识的综合问题学生们才能求解的得心应手。

（2）参数替换法求解。在高中数学函数教学中，学生们常常会产生畏惧情绪，面对一长串的三角函数表达式，他们常常会不知所措。对此，教师可以采用参数替换的方法，将原本的表达式进行简化和合并，从而更加容易的发现其中的最值求解之道。提到参数替换（换元）的方法，我们不得不再次提醒关于参数的取值范围问题，只有定义域判断正确，才能求出正确的值域和最值。

【例题】求解函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域。

【分析】对于本题，学生们最先想到的肯定是利用和差化积公式来求解。最终可以得到y=[sin（x+■）+■]2-1，当sin（x+■）=1时原三角函数可以取得最大值。但是，我们不妨尝试令t=sinx+cosx，于是原函数可以等价成y=t+■（t∈[-■，■]），于是，只要利用二次函数的知识便可以快速得到该函数的值域。值得注意的就是函数变换中的中间量t，其范围确定的正确性是影响本题解答的关键。

（3）三角函数数形结合法。三角函数起源于三角形的边长关系中，对于正弦、余弦等三角函数最值问题的求解，采用单位圆的数形结合求法也是值得考虑的。在求解一些分数型的三角函数最值问题时，利用函数图像以及函数性质来求解往往才是出题者想要考察的重点。

【例题】求y=■（0

【分析】首先，我们不妨将三角函数的形式改写成y=■。于是，该函数可以看成是两点A（2，0）和点（cosx，sinx）的直线的斜率。结合定义域可知，该动点的运动范围是圆曲线的上半轴，所以，欲求该函数的最小值，即是求该曲线在圆周上半圆运动时的直线斜率的最小值。此后的工作就是利用直线与圆周相切的关系，求出该切线的斜率即是原函数的最小值。从本题的求解中，我们不难看出三角函数最值问题与几何图形之间的联系，也必须坚持三角函数多样化解题的教学，实现教学的系统性。

三角函数值范文篇2

一、化为最基本的初等三角函数型

例1：求下列函数的最值：

（1）y=sin（x+）+sin（x-）

（2）y=2sin（+x）+sin（-x）

略解：（1）将y=sin（x+）+sin（x-）化为：y=sinx，即得：y=，y=-.

（2）将y=2sin（+x）sin（-x）化为：y=cos2x，即得：y=，y=-.

二、反解型

将三角函数解析式反解得，sin（x）=f（y），cosx=f（y），sin（x+φ）=f（y），cos（x+φ）=f（y）（φ为辅助角），然后利用正余弦函数的有界性，即|f（y）|≤1求解，常见能够反解化为上述类型的函数有：

（1）y=或y=（c≠0，a：b≠c：d）

（2）y=或y=（c≠0）

例2：求函数y=（x∈[0，π]）的最大值和最小值.

解：原式化为y==-1+，反解得：sin2x=-2，由|sin2x|≤1得|-2|≤1？圯≤y≤3.

y=3，y=.

例3：求函数y=的最值.

解法一：

原式化为：sinx-ycosx=2y-1

？圯sin（x+φ）=2y-1

？圯sin（x+φ）=

由|sin（x+φ）|≤1得≤1？圳0≤y≤，

故有y=，y=0.

解法二：

化为y=，于是y表示点（-1，-2）与点（cosx，sinx）直线的斜率，用解析法可求（以下略）.

解法三：

用万能公式代换为：（1-y）tan+2tan+（1-3y）=0

tan∈r及y≠1，

=4-4（1-y）（1-3y）≥0？圯4y（4-3y）≥0？圯0≤y≤，

因此，y=；y=0.

三、化为y=asinx+bcosx型

将三角函数式化为y=asinx+bcosx，然后引入辅助角φ化简成一个角的三角函数y=sin（x+φ）再利用基本初等函数的最值求解.

例4：当-≤x≤时，函数f（x）=sinx+cosx的（）

a.最大值是1，最小值是-1？摇？摇？摇？摇b.最大值是1，最小值是-

c.最大值是2，最小值是-2？摇？摇？摇？摇d.最大值是2，最小值是-1

解：由已知f（x）=2sin（x+），因为-≤x+≤，故-1≤f（x）≤2，故选d.

例5：函数y=sinx+cosx的最大值是？摇？摇？摇？摇.

解：原式化为：y=sin（x+），

当x=2kπ+（k∈z）时，y=.

四、化为y=asin（ωx+φ）+k（或y=acos（ωx+φ）+k）型

例6：函数y=sin2x-2cosx的最大值是？摇？摇？摇？摇.

解：原式化为：y=sin2x-（1+cos2x）=sin（2x-）-1

|sin（2x-）|≤1

y=-1

例7：函数y=sin（2x-）cosx的最小值是？摇？摇？摇？摇.

解：y=sin（2x-）cosx=[sin（2x-）-sin]=sin（2x-）-

当sin（2x-）=-1时，函数有最小值，即：y=-.

五、化为y=pf（x）+qf（x）+r（其中p、q、r为常数）型

将三角函数式做恒等变形，等价转化为形如y=pf（x）+qf（x）+r，再进行变量代换t=f（x）化为二次函数y=pf（x）+qf（x）+r在给定区间上求最值问题，这里t=f（x）sinx（或cosx），|t|≤1，求解时需要注意变量的取值范围即可.

例8：如果|x|≤，那么函数f（x）=cosx+sinx的最小值是

（）

a.b.c.-1d.

解：f（x）1-sinx+sinx=-（sinx-）+

|x|≤

|sinx|≤，则当时sinx=-，有f（x）=1-（-）-=

故应选d.

例9：求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

解：令sinx+cosx=t，|t|≤，则有sinxcosx=，

于是函数式化为：y=t-t-，解得：y=+.

六、化为能用函数的单调性或均值不等式型

例10：求函数y=sinx+（x∈（0，π））的最小值.

解法一：

令t=sinx，t∈（0，1），则可证y=t+在（0，1）内为单调递减函数，从而引发y=f（t）≥f（1）=3，即y=3.

解法二：

y=sinx+=（sinx+）+

≥2+sinx=2

+sinx

三角函数值范文

一、形如y=asinx+b（或y=acosx+b）函数的最值

这种类型的函数的最值求解可用三角函数的有界性。解这类三角函数的最值问题时首先要让学生知道最值都是在给定的区间上取得的，因而要特别注意题设中所给出的区间或是挖掘题中的隐含条件。

例题函数y=ksinx+b的最大值为2，最小值为－4，求k，b的值。

分析：通过观察可以发现函数y=ksinx+b是由一次函数与正弦函数复合而成的，我们就可以根据正弦函数的有界性以及一次函数的单调性来求解，注意在解题的时候要对k进行合理分类讨论。

解：若k>0，则当sinx=1时，ymax=2；

当sinx=－1时，ymin=－4

k+b=2，-k+b=-4，解得k=3，b=-1

若k

当sinx=1时，ymin=－4

当sinx=－1时，ymax=2

-k+b=2，k+b=-4，

解得k=－3，b=-1

k=3，b=-1或k=－3，b=-1

［α，β］上有最大值f（α），最小值f（β）

二、形如y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x的函数型

这种类型的三解函数的特点是含有sinx,cosx的二次式，解此类问题的最值思想是降幂，再化为y=asinx+bcosx的形式来解。

例题求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值、最大值。并写出函数y取最值时的x的集合。

分析：此题引入辅助角φ，化为y=a2+b2sin(x+φ)，利用|sin(x+φ)|≤1即可求解。

y=sin2x+2cos2x+1=sin2x+cos2x+2=2sin2x+π4+2

当sin2x+π4=-1时，有ymin=2-2

当sin2x+π4=1时，有ymax=2+2

此时有2x+π4=2kπ-π2,x=kπ-38π(k∈z)

2x+π4=2kπ+π2,x=kπ+38(k∈z)

故函数y取最小值2-2时x的集合是{xx=kπ-38π,k∈z}

y取最大值2+2时x的集合是{xx=kπ+38π,k∈z}

三、形如y=asin2x+bsinx+c(或y=cos2x+cosx+c)的函数

这种类型的函数的最值求解策略是把sinx,cosx看成一个整体或换元，然后转化成一元二次函数的值域问题。具体方法是应用sin2x+cos2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数后再求解，则使复杂问题简单化。

例3求函数y=sin2x+2cosx-3的值域。

分析：此类题目可以转化为y=cos2x+cos+c型的三角函数的最值问题。可令t=sinx(或t=cosx)，|t|≤1化为闭区间上的二次函数的最值问题。

解：由于y=sin2x+2cosx-3

=1-cos2x+2cosx-3

=-cos2x+2cosx-2

令t=cosx，|t|≤1

则原式转化为：y=-t2+2t-2|t|≤1

对上式配方得：y=-(t-1)2-1|t|≤1

从而当t=-1时，ymin=-5；当t=1时，ymax=-1。

所求函数的值域为［－5，－1］。

四、形如y=asinx+bcsinx+d(或y=acosx+bccosx+d)的最值

解此类题型的基本思路是解出sinx(或cosx)，利用|sinx|≤1(或|cosx|≤1)去解或利用分离常数的方法去求解。

例题求函数y=cos2cosx+1的值域。

分析：由y=cosx2cosx+1求出cosx后，运用|cosx|≤1求出y的范围。

解：由y=cosx2cosx+1可得(1-2y)cosx=yy≠12，

cosx=y1-2y|cosx|≤1cos2x≤1

即y1-2y2=y2(1-2y)2≤1，即3y2-4y+1≥0,y≤13或y≥1。

故函数y=cosx2cosx+1的值域为-∞,13∪［1,+∞）

五、形如y=asinx+bccosx+d(或y=acosx+bcsinx+d)的最值

这种类型的函数简称“分式型”，特点是一个分式，分子、分母分别含有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种：一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y看成两点连线的斜率；三是利用万能公式转换，转化成一元函数的最值问题，其中斜率法相对比较简单。

例题求函数y=2-sinx2-cosx的最大值和最小值。

解法1：应用三角函数的有界性。

原解析式即：sinx-ycosx=2-2y，即sin(x+φ)=2-2y1+y2，

|sin(x+φ)|≤1,|2-2y|1+y2≤1，解出y的范围即可。

解法2：应用数形结合法求解。

函数y=2-sinx2-cosx表示的是过点(2,2)与点(cosx,sinx)的斜率，而点(cosx,sinx)是单位圆上的动点，通过观察图形，故只须求此直线的斜率的最值即可。

解法3：应用万能公式换元求解。

设t=tgx2，则y=

2t2-2t+23t2+1

，即(2-3y)t2-2t+2-y=0

根据Δ≥0解出y的最值即可。

六、形如y=sinx+asinx的函数型

解这类三角函数的最值，当a>1时，不能直接用均值不等式，往往是用函数在区间内的单调性来解决。

例题已知x∈(0,π)，求函数y=sinx+2sinx的最小值。

分析：此题为sinx+asinx型三角函数求最值问题，当sinx>0，a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。